TS I.56
CALCUL FONCTIONNEL HOLOMORPHE
§ 4
Ainsi
dτ = dh ∧ β ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ dz n + hdβ ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ dz n
=
n
i=1
u i dh ∧ dz i ∧
j =i
(du j ∧ dz j ) + nhω
= −
n
i=1
u i (z i − a i )ω + nhω = (h − 1)ω + nhω = (n + 1)hω − ω,
compte tenu des formules (3) et (1), d’où c).
Nous nous proposons maintenant d’étudier comment la forme différentielle ω associée à une suite adaptée à a varie en fonction de cette
suite. Nous dirons que des suites (h, u 1 , . . . , u n ) et (h , u
1 , . . . , u
n ) adaptées à a sont liées s’il existe une forme différentielle ψ de degré n − 1
sur C n , à coefficients dans A et à support contenu dans la réunion des
supports de h et de h , telle que les formes différentielles associées ω
et ω vérifient
ω − ω
= d(ψ ∧ dz 1 ∧ dz 2 ∧ · · · ∧ dz n ).
Commençons par une modification élémentaire :
Lemme 5. — Soit a ∈ A n , soit (h, u 1 , . . . , u n ) une suite adaptée à a,
et soit ω la forme différentielle associée.
Soit w une application indéfiniment dérivable de C n dans A et soient
i et j des entiers distincts compris entre 1 et n. Définissons u
1 , . . . , u
n
par
u
i = u i + (z j − a j )w, u
j = u j − (z i − a i )w,
u
k = u k pour k = i, j.
Alors la suite (h, u
1 , . . . , u
n ) est adaptée à a et est liée à la suite
(h, u 1 , . . . , u n ).
Notons dz = dz 1 ∧ · · · ∧ dz n . Comme
n
k=1
(z k − a k )u
k (z) =
n
k=1
(z k − a k )u k (z) + w(z)(z j − a j )(z i − a i )
− w(z)(z i − a i )(z j − a j ) = 1 − h(z)