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SUITES ADAPTÉES ET FORMES DIFFÉRENTIELLES
TS I.55
Lemme 4. — Soit a ∈ A n . Soient (h, u 1 , . . . , u n ) une suite adaptée à
a et ω la forme différentielle associée.
a) Pour i = 1, 2, . . . , n, il existe une forme différentielle β i sur C n ,
de degré n − 1, à coefficients dans A, telle que
(z i − a i )ω = d(hβ i ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ dz n ) ;
b) La forme différentielle ω est à support compact inclus dans le
support de h ;
c) Il existe une forme différentielle β sur C n , de degré n − 1, à
coefficients dans A, telle que
(n + 1)hω − ω = d(hβ ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ dz n ).
Soit i un entier tel que 1 i n. Il existe ε i ∈ {−1, 1} tel que
ε i
j =i
du j ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ dz n = dz i ∧
j =i
(du j ∧ dz j ).
Posons β i = ε i
j =i du j , de sorte que le terme de gauche dans cette
formule est β i ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ dz n et que dβ i = 0. Ainsi
d
hβ i ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ dz n
= dh ∧ β i ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ dz n =
dh ∧ dz i ∧
j =i
(du j ∧ dz j ) = (z i − a i )ω,
d’après la formule (3), d’où l’assertion a).
On déduit de l’assertion a) et de la formule (1) la relation
ω = hω + (1 − h)ω = hω +
n
i=1
(z i − a i )u i ω
= hω +
n
i=1
u i d(hβ i ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ dz n ),
d’où Supp(ω) ⊂ Supp(h), ce qui prouve b).
Enfin, posons
β =
n
i=1
ε i u i
j =i
du j =
n
i=1
u i β i , et τ = hβdz 1 ∧ · · · ∧ dz n .
On a dβ =
i du i ∧ β i et donc
dβ ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ dz n =
i
du i ∧ dz i ∧
j =i
(du j ∧ dz j ) = nω.