TS I.54
CALCUL FONCTIONNEL HOLOMORPHE
§ 4
tout z dans W λ . Soit (f λ ) λ∈L une partition de l’unité subordonnée au
recouvrement W formée de fonctions indéfiniment dérivables (VAR,
R1, p. 40, 5.3.6). Soit i un entier tel que 1 i n. Pour tout λ ∈ L,
soit u
iλ l’application de C n Sp
n (a) dans A obtenue en prolongeant
par 0 la fonction f λ u iλ dans (C n Sp
n (a)) W λ . Les fonctions u
iλ sont
indéfiniment dérivables. La famille (Supp(u
iλ )) λ∈L étant localement
finie, la fonction v i =
λ∈L
u
iλ est définie et indéfiniment dérivable dans
C n Sp
n (a).
Soit z ∈ C n Sp
n (a). Notons L l’ensemble fini des λ ∈ L tels que
z ∈ W λ . Alors
n
i=1
(z i − a i )v i (z) =
λ∈L
n
i=1
(z i − a i )u
iλ (z)
=
λ∈L
f λ (z)
n
i=1
(z i − a i )u iλ (z) =
λ∈L
f λ (z)
· 1 = 1.
Lemme 3. — Soit a = (a 1 , . . . , a n ) ∈ A n . Soit h une application de C n
dans C, indéfiniment dérivable, égale à 1 au voisinage de Sp
n (a) et
à support compact. Il existe des applications indéfiniment dérivables
u 1 , . . . , u n de C n dans A telles que la suite (h, u 1 , . . . , u n ) soit adaptée
à a.
Soient v 1 , . . . , v n des applications de C n Sp
n (a) dans A, indéfiniment dérivables, telles que
n
j=1
(z j − a j )v j (z) = 1
pour z dans C n Sp
n (a) (lemme 2). Soit i un entier tel que 1 i n.
Posons u i (z) = (1 − h(z))v i (z) si z ∈ C n Sp
n (a) et u i (z) = 0
si z ∈ Sp
n (a). Les applications u i sont indéfiniment dérivables dans
C n Sp
n (a) et nulles dans un voisinage de Sp
n (a), donc indéfiniment
dérivables dans C n . L’égalité (1) est vraie dans Sp
n (a) car les fonctions
u i sont nulles sur Sp
n (a) et h est égale à 1 au voisinage de Sp
n (a).
Elle est aussi vraie sur C n Sp
n (a) par construction.
CALCUL FONCTIONNEL HOLOMORPHE
§ 4
tout z dans W λ . Soit (f λ ) λ∈L une partition de l’unité subordonnée au
recouvrement W formée de fonctions indéfiniment dérivables (VAR,
R1, p. 40, 5.3.6). Soit i un entier tel que 1 i n. Pour tout λ ∈ L,
soit u
iλ l’application de C n Sp
n (a) dans A obtenue en prolongeant
par 0 la fonction f λ u iλ dans (C n Sp
n (a)) W λ . Les fonctions u
iλ sont
indéfiniment dérivables. La famille (Supp(u
iλ )) λ∈L étant localement
finie, la fonction v i =
λ∈L
u
iλ est définie et indéfiniment dérivable dans
C n Sp
n (a).
Soit z ∈ C n Sp
n (a). Notons L l’ensemble fini des λ ∈ L tels que
z ∈ W λ . Alors
n
i=1
(z i − a i )v i (z) =
λ∈L
n
i=1
(z i − a i )u
iλ (z)
=
λ∈L
f λ (z)
n
i=1
(z i − a i )u iλ (z) =
λ∈L
f λ (z)
· 1 = 1.
Lemme 3. — Soit a = (a 1 , . . . , a n ) ∈ A n . Soit h une application de C n
dans C, indéfiniment dérivable, égale à 1 au voisinage de Sp
n (a) et
à support compact. Il existe des applications indéfiniment dérivables
u 1 , . . . , u n de C n dans A telles que la suite (h, u 1 , . . . , u n ) soit adaptée
à a.
Soient v 1 , . . . , v n des applications de C n Sp
n (a) dans A, indéfiniment dérivables, telles que
n
j=1
(z j − a j )v j (z) = 1
pour z dans C n Sp
n (a) (lemme 2). Soit i un entier tel que 1 i n.
Posons u i (z) = (1 − h(z))v i (z) si z ∈ C n Sp
n (a) et u i (z) = 0
si z ∈ Sp
n (a). Les applications u i sont indéfiniment dérivables dans
C n Sp
n (a) et nulles dans un voisinage de Sp
n (a), donc indéfiniment
dérivables dans C n . L’égalité (1) est vraie dans Sp
n (a) car les fonctions
u i sont nulles sur Sp
n (a) et h est égale à 1 au voisinage de Sp
n (a).
Elle est aussi vraie sur C n Sp
n (a) par construction.