N
o 3
SUITES ADAPTÉES ET FORMES DIFFÉRENTIELLES
TS I.53
Soit V un voisinage ouvert relativement compact de K tel que V est
inclus dans U (TG, I, p. 65, prop. 10). Il existe une fonction indéfiniment dérivable h de C n dans C dont le support est inclus dans V et
qui est égale à 1 sur K (VAR, R1, p. 40, 5.3.6). Cette fonction a les
propriétés demandées.
Exemple. — On suppose que n = 1. Soit a ∈ A. Pour tout voisinage
ouvert U de Sp(a), il existe une application indéfiniment dérivable h
de C dans C à support compact contenu dans U, égale à 1 au voisinage
de Sp(a) (VAR, R1, p. 40, 5.3.6). Posons
u(z) = (1 − h(z))(z − a)
−1
pour z ∈ C Sp(a) et u(z) = 0 si z ∈ Sp(a). Le couple (h, u) est
adapté à a et la forme différentielle associée est ω = du ∧ dz.
Lemme 2. — Soit a = (a 1 , . . . , a n ) ∈ A n . Il existe des applications
indéfiniment dérivables v 1 , . . . , v n de C n Sp
n (a) dans A telles que
(z 1 − a 1 )v 1 (z) + · · · + (z n − a n )v n (z) = 1
pour tout z = (z 1 , . . . , z n ) ∈ C n Sp
n (a).
Soit w = (w 1 , . . . , w n ) ∈ C n Sp
n (a). Par définition du spectre
simultané, il existe b 1 , . . . , b n dans A tels que
(w 1 − a 1 )b 1 + · · · + (w n − a n )b n = 1
(I, p. 41, n
o 6). Il existe un voisinage ouvert W w de w tel que l’élément
(z 1 − a 1 )b 1 + · · · + (z n − a n )b n de A est inversible si z = (z 1 , . . . , z n )
appartient à W w . Pour tout entier j tel que 1 j n et tout z
dans W w , soit alors
u j (z) = b j
n
i=1
(z i − a i )b i
−1
.
Les fonctions u 1 , u 2 , . . . , u n de W w dans A ainsi définies sont indéfiniment dérivables dans W w , et on a
(z 1 − a 1 )u 1 (z) + · · · + (z n − a n )u n (z) = 1
pour tout z dans W w .
Puisque la famille (W w ) w∈C n Sp
n (a) est un recouvrement ouvert
de C n Sp
n (a), il existe un recouvrement ouvert localement fini
W = (W λ ) λ∈L (TG, I, p. 70, th. 5) et, pour tout λ ∈ L, des fonctions
u 1λ , . . . , u nλ , à valeurs dans A, définies et indéfiniment dérivables
dans W λ , telles que (z 1 − a 1 )u 1λ (z) + · · · + (z n − a n )u nλ (z) = 1 pour
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SUITES ADAPTÉES ET FORMES DIFFÉRENTIELLES
TS I.53
Soit V un voisinage ouvert relativement compact de K tel que V est
inclus dans U (TG, I, p. 65, prop. 10). Il existe une fonction indéfiniment dérivable h de C n dans C dont le support est inclus dans V et
qui est égale à 1 sur K (VAR, R1, p. 40, 5.3.6). Cette fonction a les
propriétés demandées.
Exemple. — On suppose que n = 1. Soit a ∈ A. Pour tout voisinage
ouvert U de Sp(a), il existe une application indéfiniment dérivable h
de C dans C à support compact contenu dans U, égale à 1 au voisinage
de Sp(a) (VAR, R1, p. 40, 5.3.6). Posons
u(z) = (1 − h(z))(z − a)
−1
pour z ∈ C Sp(a) et u(z) = 0 si z ∈ Sp(a). Le couple (h, u) est
adapté à a et la forme différentielle associée est ω = du ∧ dz.
Lemme 2. — Soit a = (a 1 , . . . , a n ) ∈ A n . Il existe des applications
indéfiniment dérivables v 1 , . . . , v n de C n Sp
n (a) dans A telles que
(z 1 − a 1 )v 1 (z) + · · · + (z n − a n )v n (z) = 1
pour tout z = (z 1 , . . . , z n ) ∈ C n Sp
n (a).
Soit w = (w 1 , . . . , w n ) ∈ C n Sp
n (a). Par définition du spectre
simultané, il existe b 1 , . . . , b n dans A tels que
(w 1 − a 1 )b 1 + · · · + (w n − a n )b n = 1
(I, p. 41, n
o 6). Il existe un voisinage ouvert W w de w tel que l’élément
(z 1 − a 1 )b 1 + · · · + (z n − a n )b n de A est inversible si z = (z 1 , . . . , z n )
appartient à W w . Pour tout entier j tel que 1 j n et tout z
dans W w , soit alors
u j (z) = b j
n
i=1
(z i − a i )b i
−1
.
Les fonctions u 1 , u 2 , . . . , u n de W w dans A ainsi définies sont indéfiniment dérivables dans W w , et on a
(z 1 − a 1 )u 1 (z) + · · · + (z n − a n )u n (z) = 1
pour tout z dans W w .
Puisque la famille (W w ) w∈C n Sp
n (a) est un recouvrement ouvert
de C n Sp
n (a), il existe un recouvrement ouvert localement fini
W = (W λ ) λ∈L (TG, I, p. 70, th. 5) et, pour tout λ ∈ L, des fonctions
u 1λ , . . . , u nλ , à valeurs dans A, définies et indéfiniment dérivables
dans W λ , telles que (z 1 − a 1 )u 1λ (z) + · · · + (z n − a n )u nλ (z) = 1 pour