TS I.52
CALCUL FONCTIONNEL HOLOMORPHE
§ 4
La démonstration de ce théorème occupera les n os 3 à 7.
3. Suites adaptées et formes différentielles associées
Dans ce numéro, et jusqu’au numéro 5, on note A une algèbre de
Banach unifère commutative complexe et n un entier 1.
Quand nous parlerons de fonctions indéfiniment dérivables sur une
partie ouverte de C n , il s’agira de fonctions indéfiniment dérivables
pour la structure sous-jacente de variété réelle. Les notions de calcul
différentiel utilisées seront relatives à cette structure.
Définition 1. — Soit a = (a 1 , . . . , a n ) ∈ A n , soit h : C n → C une
application et soient u 1 , . . . , u n des applications de C n dans A. On dit
que la suite (h, u 1 , . . . , u n ) est adaptée à a si
(i) L’application h est indéfiniment dérivable, de support compact,
et égale à 1 au voisinage de Sp
n (a) ;
(ii) Les applications u 1 , . . . , u n sont indéfiniment dérivables ;
(iii) Pour tout z = (z 1 , . . . , z n ) ∈ C n , on a
(1)
h(z) + (z 1 − a 1 )u 1 (z) + · · · + (z n − a n )u n (z) = 1.
La forme différentielle de degré 2n sur C n , à coefficients dans A,
définie par
ω =
n
i=1
(du i ∧ dz i )
est appelée la forme différentielle associée à (h, u 1 , . . . , u n ).
Si (h, u 1 , . . . , u n ) est adaptée à a, alors on obtient en différentiant (1)
l’égalité
(2)
dh = −
n
i=1
u i dz i −
n
i=1
(z i − a i ) du i
d’où, pour tout i tel que 1 i n, la relation
(3)
dh ∧ dz i ∧
j =i
(du j ∧ dz j ) = −(z i − a i )ω.
Lemme 1. — Soient U un ouvert de C n et K un sous-ensemble compact de U. Il existe une application indéfiniment dérivable h de C n
dans C, égale à 1 sur K et à support compact inclus dans U.