N
o 2
ÉNONCÉ DU THÉORÈME PRINCIPAL
TS I.51
2. Énoncé du théorème principal
Soit X un ensemble. Si m n, on notera π m,n l’application de X n dans X m telle que π m,n (x) = (x 1 , . . . , x m ) pour tout
x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ X n .
Soit A une algèbre de Banach unifère sur C. Pour tout entier n 1
et tout a ∈ A n , on note Sp
n (a) le spectre simultané Sp
{1,...,n}
A
(a) (déf. 2
de I, p. 42). C’est une partie compacte de C n . Pour tout entier m tel
que 1 m n, on a π m,n (Sp
n (a)) = Sp
m (π m,n (a)) (I, p. 41, n
o 6).
L’application linéaire continue
π
∗
m,n : O(Sp
m (π m,n (a)); A) −→ O(Sp
n (a); A)
est un morphisme d’algèbres unifères.
Soit A une algèbre de Banach unifère commutative sur C. Soit n 1
un entier. On appelle calcul fonctionnel holomorphe en n variables
sur A la donnée, pour tout a ∈ A n , d’une application
Θ a : O(Sp
n (a); A) −→ A
vérifiant les conditions :
(CF1) Pour tout a ∈ A n , l’application Θ a est un morphisme
continu d’algèbres unifères.
(CF2) Si a = (a 1 , . . . , a n ), et si z 1 , . . . , z n désignent les germes au
voisinage de Sp
n (a) des fonctions coordonnées sur C n , on a
Θ a (z 1 ) = a 1 , . . . , Θ a (z n ) = a n .
Remarque. — Si le radical de l’algèbre A est nul, on peut omettre la
condition de continuité dans (CF1) (cf. prop. 9 de I, p. 40).
On appelle calcul fonctionnel holomorphe sur A la donnée, pour tout
entier n 1, d’un calcul fonctionnel holomorphe en n variables sur A,
vérifiant :
(CF3) Quels que soient les entiers m et n tels que 1 m n, et
quels que soient a ∈ A n et f ∈ O(Sp
m (π m,n (a); A), on a
Θ a (π
∗
m,n (f )) = Θ πm,n(a) (f ).
L’objet de ce paragraphe est de démontrer le théorème suivant :
Théorème 1. — Soit A une algèbre de Banach unifère commutative
complexe. Il existe un unique calcul fonctionnel holomorphe sur A.
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ÉNONCÉ DU THÉORÈME PRINCIPAL
TS I.51
2. Énoncé du théorème principal
Soit X un ensemble. Si m n, on notera π m,n l’application de X n dans X m telle que π m,n (x) = (x 1 , . . . , x m ) pour tout
x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ X n .
Soit A une algèbre de Banach unifère sur C. Pour tout entier n 1
et tout a ∈ A n , on note Sp
n (a) le spectre simultané Sp
{1,...,n}
A
(a) (déf. 2
de I, p. 42). C’est une partie compacte de C n . Pour tout entier m tel
que 1 m n, on a π m,n (Sp
n (a)) = Sp
m (π m,n (a)) (I, p. 41, n
o 6).
L’application linéaire continue
π
∗
m,n : O(Sp
m (π m,n (a)); A) −→ O(Sp
n (a); A)
est un morphisme d’algèbres unifères.
Soit A une algèbre de Banach unifère commutative sur C. Soit n 1
un entier. On appelle calcul fonctionnel holomorphe en n variables
sur A la donnée, pour tout a ∈ A n , d’une application
Θ a : O(Sp
n (a); A) −→ A
vérifiant les conditions :
(CF1) Pour tout a ∈ A n , l’application Θ a est un morphisme
continu d’algèbres unifères.
(CF2) Si a = (a 1 , . . . , a n ), et si z 1 , . . . , z n désignent les germes au
voisinage de Sp
n (a) des fonctions coordonnées sur C n , on a
Θ a (z 1 ) = a 1 , . . . , Θ a (z n ) = a n .
Remarque. — Si le radical de l’algèbre A est nul, on peut omettre la
condition de continuité dans (CF1) (cf. prop. 9 de I, p. 40).
On appelle calcul fonctionnel holomorphe sur A la donnée, pour tout
entier n 1, d’un calcul fonctionnel holomorphe en n variables sur A,
vérifiant :
(CF3) Quels que soient les entiers m et n tels que 1 m n, et
quels que soient a ∈ A n et f ∈ O(Sp
m (π m,n (a); A), on a
Θ a (π
∗
m,n (f )) = Θ πm,n(a) (f ).
L’objet de ce paragraphe est de démontrer le théorème suivant :
Théorème 1. — Soit A une algèbre de Banach unifère commutative
complexe. Il existe un unique calcul fonctionnel holomorphe sur A.