TS I.50
CALCUL FONCTIONNEL HOLOMORPHE
§ 4
des espaces O(U; F) pour ces applications est notée O(K; F). Les éléments de O(K; F) s’appellent les germes de fonctions holomorphes au
voisinage de K et à valeurs dans F.
L’espace O(K; F) est muni de la topologie limite inductive des topologies localement convexes des O(U; F) (EVT, II, p. 31, exemple II).
Soient X un espace vectoriel topologique localement convexe et
ϕ : O(K; F) → X une application. Pour tout voisinage ouvert U de K,
l’application O(U; F) → X déduite de ϕ par composition avec l’application canonique O(U; F) → O(K; F) est notée ϕ U . L’application ϕ
est continue si et seulement si ϕ U est continue pour tout U (EVT, II,
p. 29, prop. 5, (iii)).
Soit m un entier naturel. Soient L une partie compacte de C m et V
un voisinage ouvert de L. Soit ϕ : V → C n une application holomorphe
telle que ϕ(L) ⊂ K. Les applications linéaires continues
O(U; F)
O(
−1
ϕ (U); F)
O(L; F)
←
→
ϕ ∗
←
→
ϕ
−1
ϕ (U)
pour U voisinage ouvert de K, induisent une application linéaire continue ϕ ∗ : O(K; F) → O(L; F) (loc. cit.).
Soient H un espace de Banach complexe et ϕ : F → H une application linéaire continue. Les applications linéaires continues
O(U; F)
O(U; H)
O(K; F)
←
→
ϕ∗
←
→
ϕ U
où U parcourt l’ensemble des voisinages ouverts de K dans C n , induisent une application linéaire continue ϕ ∗ de O(K; F) dans O(K; H)
(loc. cit.). On notera parfois ϕ ◦ f = ϕ ∗ (f ).
Pour tout voisinage ouvert U de K, la restriction à K est une application linéaire continue O(U; F) → C (K; F) ; ces applications induisent
une application linéaire continue O(K; F) → C (K; F), appelée évaluation des germes de fonctions holomorphes sur K.
Soit A une algèbre de Banach unifère complexe. Les espaces O(U; A)
et O(K; A) sont des algèbres unifères. Si A = {0}, on peut identifier
canoniquement O(U; C) (resp. O(K; C)) à la sous-algèbre O(U; C) · 1
de O(U; A) (resp. à la sous-algèbre O(K; C) · 1 de O(K; A)). On posera
O(U) = O(U; C) et O(K) = O(K; C).