N
o 1
GERMES DE FONCTIONS HOLOMORPHES
TS I.49
fondamental de voisinages polynomialement convexes de K (TG, I,
p. 60, th. 1).
§ 4. CALCUL FONCTIONNEL HOLOMORPHE
1. Germes de fonctions holomorphes
Soient E et F des espaces de Banach complexes. On rappelle (cf.
VAR, R1, p. 26, 3.2.1, p. 22, 3.1 et p. 88, App.) qu’une application
holomorphe définie sur un ouvert U de E et à valeurs dans F est une
application f : U → F telle que, pour tout x ∈ U, il existe une série
convergente
f x =
k0
f x,k
vérifiant f (x + y) = f x (y) pour tout y ∈ E assez proche de 0, où
f x,k : E → C est un polynôme homogène continu de degré k sur E à
valeurs dans F, c’est-à-dire une application de la forme
f x,k (y) =
f x,k (y, . . . , y)
où
f x,k : E k → F est une application k-multilinéaire continue. On note
O(U; F) l’espace vectoriel complexe des fonctions holomorphes sur U à
valeurs dans F muni de la topologie de la convergence compacte. C’est
un espace vectoriel topologique localement convexe, dont la topologie
est définie par les semi-normes f → sup z∈K f (z), où K parcourt
l’ensemble des parties compactes de U.
Soient G un espace de Banach complexe et V une partie ouverte
de G. Pour toute application holomorphe ϕ : V → U, l’application
ϕ ∗ : f → f ◦ ϕ est une application linéaire continue de O(U; F) dans
O(V; F).
Si H est un espace de Banach complexe et ϕ : F → H une application
linéaire continue, alors l’application f → ϕ ◦ f est une application
linéaire continue de O(U; F) dans O(U; H), notée ϕ ∗ .
Soit n un entier naturel et posons E = C n . Soient K une partie
compacte de C n et U l’ensemble filtrant décroissant des voisinages
ouverts de K. Si U, U ∈ U et U ⊂ U, l’application de restriction des
fonctions de O(U; F) dans O(U ; F) est continue. La limite inductive
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GERMES DE FONCTIONS HOLOMORPHES
TS I.49
fondamental de voisinages polynomialement convexes de K (TG, I,
p. 60, th. 1).
§ 4. CALCUL FONCTIONNEL HOLOMORPHE
1. Germes de fonctions holomorphes
Soient E et F des espaces de Banach complexes. On rappelle (cf.
VAR, R1, p. 26, 3.2.1, p. 22, 3.1 et p. 88, App.) qu’une application
holomorphe définie sur un ouvert U de E et à valeurs dans F est une
application f : U → F telle que, pour tout x ∈ U, il existe une série
convergente
f x =
k0
f x,k
vérifiant f (x + y) = f x (y) pour tout y ∈ E assez proche de 0, où
f x,k : E → C est un polynôme homogène continu de degré k sur E à
valeurs dans F, c’est-à-dire une application de la forme
f x,k (y) =
f x,k (y, . . . , y)
où
f x,k : E k → F est une application k-multilinéaire continue. On note
O(U; F) l’espace vectoriel complexe des fonctions holomorphes sur U à
valeurs dans F muni de la topologie de la convergence compacte. C’est
un espace vectoriel topologique localement convexe, dont la topologie
est définie par les semi-normes f → sup z∈K f (z), où K parcourt
l’ensemble des parties compactes de U.
Soient G un espace de Banach complexe et V une partie ouverte
de G. Pour toute application holomorphe ϕ : V → U, l’application
ϕ ∗ : f → f ◦ ϕ est une application linéaire continue de O(U; F) dans
O(V; F).
Si H est un espace de Banach complexe et ϕ : F → H une application
linéaire continue, alors l’application f → ϕ ◦ f est une application
linéaire continue de O(U; F) dans O(U; H), notée ϕ ∗ .
Soit n un entier naturel et posons E = C n . Soient K une partie
compacte de C n et U l’ensemble filtrant décroissant des voisinages
ouverts de K. Si U, U ∈ U et U ⊂ U, l’application de restriction des
fonctions de O(U; F) dans O(U ; F) est continue. La limite inductive