TS I.48
ALGÈBRES DE BANACH COMMUTATIVES
§ 3
produit D =
λ
D λ . Pour tout P ∈ C[(X λ )], soit K P l’ensemble des
x ∈ C Λ tels que
|P(x)| sup
c∈K
|P(c)|.
On a
(3)
D ∩
P
K P = K
qui est contenu dans U. Ainsi, l’espace D est la réunion de l’ensemble
ouvert D ∩ U et de la famille des ensembles ouverts D K P pour
P ∈ C[(X λ )]. Comme D est compact, il existe un entier q 1 et des
polynômes P 1 , . . . , P q ∈ C[(X λ )] tels que :
(4)
D ∩ K P 1 ∩ · · · ∩ K Pq ⊂ U.
Il existe un ensemble fini Λ 0 ⊂ Λ tel que P i ∈ C[(X λ ) λ∈Λ 0 ] pour
1 i q. Démontrons que Λ 0 vérifie l’assertion du lemme.
Soit Λ une partie de Λ contenant Λ 0 . Soit E la partie de C Λ formée
des éléments c = (c λ ) λ∈Λ définie par les inégalités |c λ | R λ pour
λ ∈ Λ , et
|P i (c)| sup
c∈K
|P i (c)|
pour i = 1, . . . , q. La partie E est polynomialement convexe (lemme 3)
et la formule (3) démontre que pr Λ (K) ⊂ E.
D’autre part, soit c = (c λ ) λ∈Λ ∈ E ; soit d = (d λ ) λ∈Λ l’élément de
C Λ défini par d λ = c λ pour λ ∈ Λ et d λ = 0 pour λ ∈ Λ Λ . Alors (4)
implique que d ∈ U, et donc que c ∈ pr Λ (U). Ainsi, E ⊂ pr Λ (U), ce
qui achève la démonstration.
Lemme 7. — Soient n 1 un entier et K une partie compacte polynomialement convexe de C n . Alors K admet un système fondamental
de voisinages compacts polynomialement convexes.
Il existe un polydisque (cf. VAR, R1, p. 24) compact ∆ de C n qui
est un voisinage de K. Puisque K est polynomialement convexe, il
existe une famille (P i ) i∈I d’éléments de C[X 1 , . . . , X n ], et une famille
(M i ) i∈I de nombres réels positifs tels que K est l’ensemble des z ∈
∆ vérifiant |P i (z)| M i pour tout i (lemme 3). Pour toute partie
finie J de I et tout ε > 0, soit K J,ε l’ensemble des z ∈ ∆ tels que
|P i (z)| M i +ε pour i ∈ J. Alors chaque ensemble K J,ε est un voisinage
compact polynomialement convexe de K (loc. cit.), et l’intersection des
ensembles K J,ε est K. Les ensembles K J,ε forment donc un système
ALGÈBRES DE BANACH COMMUTATIVES
§ 3
produit D =
λ
D λ . Pour tout P ∈ C[(X λ )], soit K P l’ensemble des
x ∈ C Λ tels que
|P(x)| sup
c∈K
|P(c)|.
On a
(3)
D ∩
P
K P = K
qui est contenu dans U. Ainsi, l’espace D est la réunion de l’ensemble
ouvert D ∩ U et de la famille des ensembles ouverts D K P pour
P ∈ C[(X λ )]. Comme D est compact, il existe un entier q 1 et des
polynômes P 1 , . . . , P q ∈ C[(X λ )] tels que :
(4)
D ∩ K P 1 ∩ · · · ∩ K Pq ⊂ U.
Il existe un ensemble fini Λ 0 ⊂ Λ tel que P i ∈ C[(X λ ) λ∈Λ 0 ] pour
1 i q. Démontrons que Λ 0 vérifie l’assertion du lemme.
Soit Λ une partie de Λ contenant Λ 0 . Soit E la partie de C Λ formée
des éléments c = (c λ ) λ∈Λ définie par les inégalités |c λ | R λ pour
λ ∈ Λ , et
|P i (c)| sup
c∈K
|P i (c)|
pour i = 1, . . . , q. La partie E est polynomialement convexe (lemme 3)
et la formule (3) démontre que pr Λ (K) ⊂ E.
D’autre part, soit c = (c λ ) λ∈Λ ∈ E ; soit d = (d λ ) λ∈Λ l’élément de
C Λ défini par d λ = c λ pour λ ∈ Λ et d λ = 0 pour λ ∈ Λ Λ . Alors (4)
implique que d ∈ U, et donc que c ∈ pr Λ (U). Ainsi, E ⊂ pr Λ (U), ce
qui achève la démonstration.
Lemme 7. — Soient n 1 un entier et K une partie compacte polynomialement convexe de C n . Alors K admet un système fondamental
de voisinages compacts polynomialement convexes.
Il existe un polydisque (cf. VAR, R1, p. 24) compact ∆ de C n qui
est un voisinage de K. Puisque K est polynomialement convexe, il
existe une famille (P i ) i∈I d’éléments de C[X 1 , . . . , X n ], et une famille
(M i ) i∈I de nombres réels positifs tels que K est l’ensemble des z ∈
∆ vérifiant |P i (z)| M i pour tout i (lemme 3). Pour toute partie
finie J de I et tout ε > 0, soit K J,ε l’ensemble des z ∈ ∆ tels que
|P i (z)| M i +ε pour i ∈ J. Alors chaque ensemble K J,ε est un voisinage
compact polynomialement convexe de K (loc. cit.), et l’intersection des
ensembles K J,ε est K. Les ensembles K J,ε forment donc un système