N
o 7
ENSEMBLES POLYNOMIALEMENT CONVEXES
TS I.47
Or on a
(P(x)) = sup
χ∈X(A)
|χ(P(x))| = sup
χ∈X(A)
|P((χ(x λ )) λ∈Λ )| = sup
c∈Sp
Λ
A (x)
|P(c)|,
d’après la prop. 7 de I, p. 38, a) et la prop. 12 de I, p. 43, a). Le
résultat découle alors du lemme 3.
Proposition 15. — Soit Λ un ensemble. Soit K une partie compacte
polynomialement convexe de C Λ . Soit A 0 l’ensemble des restrictions
à K des fonctions polynômes sur C Λ , et soit A l’adhérence de A 0 dans
l’algèbre C (K).
Soit ev : K → X(A) l’application définie par x → ev x , où ev x est le
caractère f → f (x) de A. Soit z = (z λ ) λ∈Λ la famille dans A des restrictions à K des fonctions coordonnées sur C Λ , et soit ϕ l’application
surjective de X(A) dans Sp
Λ
A (z) définie par la famille z.
Alors on a K = Sp
Λ
A (z), et les applications ev : K → X(A) et
ϕ : X(A) → K sont des homéomorphismes réciproques.
L’application ϕ ◦ ev est l’application identique de K. En particulier,
K est contenu dans l’image Sp
Λ
A (z) de ϕ.
La prop. 14 implique que Sp
Λ
A (z) est l’enveloppe polynomialement
convexe de Sp
Λ
C (K) (z). Puisque, d’autre part, on a Sp
Λ
C (K) (z) = K (I,
p. 42, exemple), qui est polynomialement convexe par hypothèse, on
en déduit que Sp
Λ
A (z) = K.
Puisque la sous-algèbre unifère engendrée par la famille des éléments z λ est dense dans A, l’application ϕ est un homéomorphisme de
X(A) sur Sp
Λ
A (z) = K (prop. 12 de I, p. 43, a)). L’identité ϕ ◦ ev = Id K
démontre alors que ev est l’homéomorphisme réciproque de ϕ.
Pour toute partie Λ de Λ, on note pr Λ la projection canonique
C Λ → C Λ . Soient W une partie de C Λ et V son enveloppe polynomialement convexe. Posons W = pr Λ W. Comme tout élément de
C[(X λ ) λ∈Λ ] s’identifie à un élément de C[(X λ ) λ∈Λ ], l’enveloppe polynomialement convexe de W est contenue dans pr Λ V.
Lemme 6. — Soient K ⊂ C Λ une partie compacte polynomialement
convexe et U un voisinage de K. Il existe une partie finie Λ 0 de Λ
telle que, pour toute partie Λ de Λ contenant Λ 0 , l’ensemble pr Λ (U)
contienne l’enveloppe polynomialement convexe de pr Λ (K).
Puisque K est compact, il existe une famille de disques compacts D λ
dans C de centre 0 et de rayons R λ tels que K est contenu dans le
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ENSEMBLES POLYNOMIALEMENT CONVEXES
TS I.47
Or on a
(P(x)) = sup
χ∈X(A)
|χ(P(x))| = sup
χ∈X(A)
|P((χ(x λ )) λ∈Λ )| = sup
c∈Sp
Λ
A (x)
|P(c)|,
d’après la prop. 7 de I, p. 38, a) et la prop. 12 de I, p. 43, a). Le
résultat découle alors du lemme 3.
Proposition 15. — Soit Λ un ensemble. Soit K une partie compacte
polynomialement convexe de C Λ . Soit A 0 l’ensemble des restrictions
à K des fonctions polynômes sur C Λ , et soit A l’adhérence de A 0 dans
l’algèbre C (K).
Soit ev : K → X(A) l’application définie par x → ev x , où ev x est le
caractère f → f (x) de A. Soit z = (z λ ) λ∈Λ la famille dans A des restrictions à K des fonctions coordonnées sur C Λ , et soit ϕ l’application
surjective de X(A) dans Sp
Λ
A (z) définie par la famille z.
Alors on a K = Sp
Λ
A (z), et les applications ev : K → X(A) et
ϕ : X(A) → K sont des homéomorphismes réciproques.
L’application ϕ ◦ ev est l’application identique de K. En particulier,
K est contenu dans l’image Sp
Λ
A (z) de ϕ.
La prop. 14 implique que Sp
Λ
A (z) est l’enveloppe polynomialement
convexe de Sp
Λ
C (K) (z). Puisque, d’autre part, on a Sp
Λ
C (K) (z) = K (I,
p. 42, exemple), qui est polynomialement convexe par hypothèse, on
en déduit que Sp
Λ
A (z) = K.
Puisque la sous-algèbre unifère engendrée par la famille des éléments z λ est dense dans A, l’application ϕ est un homéomorphisme de
X(A) sur Sp
Λ
A (z) = K (prop. 12 de I, p. 43, a)). L’identité ϕ ◦ ev = Id K
démontre alors que ev est l’homéomorphisme réciproque de ϕ.
Pour toute partie Λ de Λ, on note pr Λ la projection canonique
C Λ → C Λ . Soient W une partie de C Λ et V son enveloppe polynomialement convexe. Posons W = pr Λ W. Comme tout élément de
C[(X λ ) λ∈Λ ] s’identifie à un élément de C[(X λ ) λ∈Λ ], l’enveloppe polynomialement convexe de W est contenue dans pr Λ V.
Lemme 6. — Soient K ⊂ C Λ une partie compacte polynomialement
convexe et U un voisinage de K. Il existe une partie finie Λ 0 de Λ
telle que, pour toute partie Λ de Λ contenant Λ 0 , l’ensemble pr Λ (U)
contienne l’enveloppe polynomialement convexe de pr Λ (K).
Puisque K est compact, il existe une famille de disques compacts D λ
dans C de centre 0 et de rayons R λ tels que K est contenu dans le