TS I.46
ALGÈBRES DE BANACH COMMUTATIVES
§ 3
à [r, +∞[×S 1 ), il est contenu dans une composante connexe U de C K.
Toute autre composante connexe de C K est contenue dans D, donc
est bornée. La composante connexe U est alors l’unique composante
connexe non bornée de C K, c’est-à-dire U = C
K. Puisque U est
ouvert et contient le complémentaire du disque D, l’ensemble
K est
compact.
Proposition 13. — Soit n 1 un entier. Soit K ⊂ C n une partie
fermée et V son enveloppe polynomialement convexe.
a) Toute composante connexe bornée de C n
K est contenue
dans V ;
b) Si n = 1, et si K est compact, alors V est la réunion
K de K et
des composantes connexes bornées de C K.
Comme K ⊂ C n est fermé, son complémentaire C n K est ouvert,
donc localement connexe, de sorte que chaque composante connexe
de C n K est ouverte. Le principe du maximum (VAR, R1, p. 29,
3.3.7) montre alors que toute composante connexe bornée de C n K
est contenue dans V, ce qui montre l’assertion a).
Supposons maintenant n = 1 et K compact. Notons
K la réunion
de K et des composantes connexes bornées de C K, de sorte que
K ⊂ V par ce qui précède. L’ensemble
K est compact (lemme 5).
Soit A l’algèbre de Banach unifère commutative C (
K). Soient x ∈ A
la fonction identique de
K et B la sous-algèbre unifère fermée de A
engendrée par x. On a Sp A (x) =
K (exemple 3 de I, p. 17), donc
C Sp A (x) est connexe. Par suite on a Sp B (x) = Sp A (x) (cor. de
la prop. 6 de I, p. 28). Comme Sp B (x) est polynomialement convexe
d’après le lemme 4, cela montre que
K est polynomialement convexe
et donc que V ⊂
K.
La seconde partie de la proposition ne s’étend pas au cas n 2 (cf.
exerc. 23 de I, p. 170).
Proposition 14. — Soit Λ un ensemble. Soient A une algèbre de Banach unifère commutative, x = (x λ ) λ∈Λ une famille d’éléments de A et
A la sous-algèbre de Banach unifère engendrée par x. Alors le spectre
simultané Sp
Λ
A (x) est l’enveloppe polynomialement convexe de Sp
Λ
A (x).
En effet, la prop. 12 de I, p. 43, b) démontre que Sp
Λ
A (x) est l’ensemble des c ∈ C Λ tels que |P(c)| (P(x)) pour tout P ∈ C[(X λ )].
ALGÈBRES DE BANACH COMMUTATIVES
§ 3
à [r, +∞[×S 1 ), il est contenu dans une composante connexe U de C K.
Toute autre composante connexe de C K est contenue dans D, donc
est bornée. La composante connexe U est alors l’unique composante
connexe non bornée de C K, c’est-à-dire U = C
K. Puisque U est
ouvert et contient le complémentaire du disque D, l’ensemble
K est
compact.
Proposition 13. — Soit n 1 un entier. Soit K ⊂ C n une partie
fermée et V son enveloppe polynomialement convexe.
a) Toute composante connexe bornée de C n
K est contenue
dans V ;
b) Si n = 1, et si K est compact, alors V est la réunion
K de K et
des composantes connexes bornées de C K.
Comme K ⊂ C n est fermé, son complémentaire C n K est ouvert,
donc localement connexe, de sorte que chaque composante connexe
de C n K est ouverte. Le principe du maximum (VAR, R1, p. 29,
3.3.7) montre alors que toute composante connexe bornée de C n K
est contenue dans V, ce qui montre l’assertion a).
Supposons maintenant n = 1 et K compact. Notons
K la réunion
de K et des composantes connexes bornées de C K, de sorte que
K ⊂ V par ce qui précède. L’ensemble
K est compact (lemme 5).
Soit A l’algèbre de Banach unifère commutative C (
K). Soient x ∈ A
la fonction identique de
K et B la sous-algèbre unifère fermée de A
engendrée par x. On a Sp A (x) =
K (exemple 3 de I, p. 17), donc
C Sp A (x) est connexe. Par suite on a Sp B (x) = Sp A (x) (cor. de
la prop. 6 de I, p. 28). Comme Sp B (x) est polynomialement convexe
d’après le lemme 4, cela montre que
K est polynomialement convexe
et donc que V ⊂
K.
La seconde partie de la proposition ne s’étend pas au cas n 2 (cf.
exerc. 23 de I, p. 170).
Proposition 14. — Soit Λ un ensemble. Soient A une algèbre de Banach unifère commutative, x = (x λ ) λ∈Λ une famille d’éléments de A et
A la sous-algèbre de Banach unifère engendrée par x. Alors le spectre
simultané Sp
Λ
A (x) est l’enveloppe polynomialement convexe de Sp
Λ
A (x).
En effet, la prop. 12 de I, p. 43, b) démontre que Sp
Λ
A (x) est l’ensemble des c ∈ C Λ tels que |P(c)| (P(x)) pour tout P ∈ C[(X λ )].