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ENSEMBLES POLYNOMIALEMENT CONVEXES
TS I.45
la sous-algèbre unifère engendrée par la famille x est dense dans A,
alors le spectre simultané Sp
Λ
A (x) est polynomialement convexe.
Cela résulte de l’assertion b) de la prop. 12 de I, p. 43 et de la
définition 3.
Toute intersection de parties polynomialement convexes de C Λ est
polynomialement convexe (lemme 3). Cela justifie la définition suivante :
Définition 4. — Soient Λ un ensemble et V une partie de C Λ . L’enveloppe polynomialement convexe de V est le plus petit sous-ensemble
polynomialement convexe de C Λ contenant V.
L’enveloppe polynomialement convexe de V est l’ensemble des c
appartenant à C Λ tels que |P(c)| sup W |P| pour tout P ∈ C[(X λ )].
En effet, cet ensemble est polynomialement convexe par le lemme 3, et
est contenu dans tout ensemble polynomialement convexe contenant
V par définition.
Exemple. — Soient Λ un ensemble fini et V ⊂ C Λ une partie convexe
compacte. Alors V est polynomialement convexe. En effet, soit W l’enveloppe polynomialement convexe de V. Démontrons que W ⊂ V, ce
qui entraînera l’assertion. Soit x ∈ C Λ V. Il existe un hyperplan réel H
dans C Λ qui sépare strictement x et V (EVT, II, p. 41, prop. 4). Soient
f R une forme R-linéaire sur C Λ et α ∈ R tels que H est l’ensemble
des y ∈ C Λ vérifiant f R (y) = α. Soit f une forme linéaire sur C Λ telle
que f R = R(f ). On a donc
R(f (x)) > sup
y∈V
R(f (y)).
Pour tout t ∈ R et y ∈ V, posons f t (y) = t+f (y). On a |f t |−R(f t ) → 0
dans C (C Λ , R) muni de la topologie de la convergence compacte quand
t → +∞. Pour t suffisamment grand, il vient |f t (x)| > sup y∈V |f t (y)|
puisque V est compacte. Ainsi x ∈ C Λ W puisque f t est une fonction
polynomiale.
Lemme 5. — Soit K une partie compacte de C. On note
K la réunion
de K et des composantes connexes de C K qui sont relativement
compactes. Alors l’ensemble
K est compact.
Comme K est compact, il existe un nombre réel r > 0 tel que K est
contenu dans le disque ouvert D de centre 0 et de rayon r. Alors C K
contient C D. Comme l’espace C D est connexe (étant homéomorphe
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ENSEMBLES POLYNOMIALEMENT CONVEXES
TS I.45
la sous-algèbre unifère engendrée par la famille x est dense dans A,
alors le spectre simultané Sp
Λ
A (x) est polynomialement convexe.
Cela résulte de l’assertion b) de la prop. 12 de I, p. 43 et de la
définition 3.
Toute intersection de parties polynomialement convexes de C Λ est
polynomialement convexe (lemme 3). Cela justifie la définition suivante :
Définition 4. — Soient Λ un ensemble et V une partie de C Λ . L’enveloppe polynomialement convexe de V est le plus petit sous-ensemble
polynomialement convexe de C Λ contenant V.
L’enveloppe polynomialement convexe de V est l’ensemble des c
appartenant à C Λ tels que |P(c)| sup W |P| pour tout P ∈ C[(X λ )].
En effet, cet ensemble est polynomialement convexe par le lemme 3, et
est contenu dans tout ensemble polynomialement convexe contenant
V par définition.
Exemple. — Soient Λ un ensemble fini et V ⊂ C Λ une partie convexe
compacte. Alors V est polynomialement convexe. En effet, soit W l’enveloppe polynomialement convexe de V. Démontrons que W ⊂ V, ce
qui entraînera l’assertion. Soit x ∈ C Λ V. Il existe un hyperplan réel H
dans C Λ qui sépare strictement x et V (EVT, II, p. 41, prop. 4). Soient
f R une forme R-linéaire sur C Λ et α ∈ R tels que H est l’ensemble
des y ∈ C Λ vérifiant f R (y) = α. Soit f une forme linéaire sur C Λ telle
que f R = R(f ). On a donc
R(f (x)) > sup
y∈V
R(f (y)).
Pour tout t ∈ R et y ∈ V, posons f t (y) = t+f (y). On a |f t |−R(f t ) → 0
dans C (C Λ , R) muni de la topologie de la convergence compacte quand
t → +∞. Pour t suffisamment grand, il vient |f t (x)| > sup y∈V |f t (y)|
puisque V est compacte. Ainsi x ∈ C Λ W puisque f t est une fonction
polynomiale.
Lemme 5. — Soit K une partie compacte de C. On note
K la réunion
de K et des composantes connexes de C K qui sont relativement
compactes. Alors l’ensemble
K est compact.
Comme K est compact, il existe un nombre réel r > 0 tel que K est
contenu dans le disque ouvert D de centre 0 et de rayon r. Alors C K
contient C D. Comme l’espace C D est connexe (étant homéomorphe