TS I.44
ALGÈBRES DE BANACH COMMUTATIVES
§ 3
entraîne P(c) = 0. Il existe donc un morphisme d’algèbres unifères ξ
de A dans C tel que ξ(x λ ) = c λ pour tout λ ∈ Λ. D’après (2), le
morphisme ξ est continu. Il se prolonge donc par continuité en un caractère χ de A = A, qui vérifie c = (χ(x λ )) λ∈Λ ∈ Sp
Λ
A (x). Cela termine
la démonstration.
7. Ensembles polynomialement convexes
Définition 3. — Soient Λ un ensemble et V une partie de C Λ . On
dit que V est polynomialement convexe si V est l’ensemble des points
(c λ ) λ∈Λ de C Λ tel que
|P((c λ ))| sup
c∈V
|P(c)|
pour tout P ∈ C[(X λ )].
Lemme 3. — Soit Λ un ensemble. Une partie V de C Λ est polynomialement convexe si et seulement s’il existe une famille (P i ) i∈I d’éléments
de C[(X λ ) λ∈Λ ] et une famille (M i ) i∈I d’éléments de [0, +∞] tels que V
soit l’ensemble des c ∈ C Λ vérifiant
|P i (c)| M i
pour tout i ∈ I.
Si la partie V de C Λ est polynomialement convexe, elle vérifie
la condition ci-dessus pour la famille formée des éléments P de
C[(X λ ) λ∈Λ ] en posant M P = sup c∈V |P(c)|.
Réciproquement, soient (P i ) i∈I une famille d’éléments de C[(X λ ) λ∈Λ ]
et (M i ) i∈I une famille d’éléments de [0, +∞]. Soit V l’ensemble
des c dans C Λ tels que |P i (c)| M i pour tout i ∈ I. On a alors
sup c∈V |P i (c)| M i pour i ∈ I. Supposons que x ∈ C Λ vérifie
|P(x)| sup
c∈V
|P(c)|
pour tout P ∈ C[(X λ )]. Pour i ∈ I, on a en particulier |P i (x)| M i ,
donc x ∈ V. Inversement, pour tout élément x ∈ V et tout polynôme
P ∈ C[(X λ )], on a |P(x)| sup c∈V |P(c)|. Par conséquent, l’ensemble V
est polynomialement convexe.
Lemme 4. — Soit A une algèbre de Banach commutative unifère.
Soient Λ un ensemble et x = (x λ ) λ∈Λ une famille d’éléments de A. Si