N
o 6
SPECTRE SIMULTANÉ
TS I.43
de C Λ . Alors le spectre simultané Sp
Λ
C (K) (z) est égal à K. En effet,
d’après le cor. 2 de I, p. 32, tout caractère χ de C (K) est de la forme
f → f (x) pour un élément x ∈ K, et on a alors (χ(z λ )) λ∈Λ = x.
Proposition 12. — Soient Λ un ensemble et A une algèbre de Banach unifère commutative. Soit x = (x λ ) λ∈Λ une famille d’éléments de
A.
a) On suppose que la sous-algèbre pleine de A engendrée par la famille x est dense dans A. L’application de X(A) dans C Λ définie par x
est un homéomorphisme de X(A) sur le spectre simultané Sp
Λ
A (x) ;
b) On suppose que la sous-algèbre unifère de A engendrée par la
famille x est dense dans A. Pour tout c ∈ C Λ , les conditions suivantes
sont équivalentes :
(i) c ∈ Sp
Λ
A (x) ;
(ii) |P(c)| (P(x)) pour tout polynôme P ∈ C[(X λ ) λ∈Λ ] ;
(iii) |P(c)| P(x) pour tout polynôme P ∈ C[(X λ ) λ∈Λ ].
a) L’application de X(A) dans Sp
Λ
A (x) définie par la famille x est
continue et surjective. Soient χ, χ ∈ X(A) des caractères ayant la
même image, c’est-à-dire tels que χ(x λ ) = χ (x λ ) pour tout λ ∈ Λ. Les
caractères χ et χ coïncident sur les éléments de la forme P(x)Q(x) −1 ,
où P ∈ C[(X λ )], Q ∈ C[(X λ )] et Q(x) est inversible dans A, c’est-à-dire
sur la sous-algèbre pleine de A engendrée par les éléments x λ (lemme 2
de I, p. 6). Puisque χ et χ sont continus (th. 1 de I, p. 29), ils sont
donc égaux sur A. Cela démontre que X(h) est une bijection continue
de X(A) sur Sp
Λ
A (x), et par suite c’est un homéomorphisme puisque
X(A) est compact.
b) Montrons que (i) implique (ii) : si c = (c λ ) λ∈Λ ∈ Sp
Λ
A (x), il existe
χ ∈ X(A) tel que c λ = χ(x λ ) pour tout λ. Pour tout P ∈ C[(X λ )], on
a donc |P(c)| = |P((χ(x λ )) λ∈Λ )| = |χ(P(x))|
L’assertion (ii) implique (iii) en raison de l’inégalité (x) x,
valide pour tout x ∈ A par définition du rayon spectral.
Montrons finalement que (iii) implique (i). Soit c = (c λ ) λ∈Λ ∈ C Λ
tel que
(2)
|P(c)| P(x)
pour tout P ∈ C[(X λ )]. Soit A la sous-algèbre unifère de A engendrée par la famille x ; ses éléments sont de la forme P(x) pour
P ∈ C[(X λ )]. La majoration (2) implique que la condition P(x) = 0
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SPECTRE SIMULTANÉ
TS I.43
de C Λ . Alors le spectre simultané Sp
Λ
C (K) (z) est égal à K. En effet,
d’après le cor. 2 de I, p. 32, tout caractère χ de C (K) est de la forme
f → f (x) pour un élément x ∈ K, et on a alors (χ(z λ )) λ∈Λ = x.
Proposition 12. — Soient Λ un ensemble et A une algèbre de Banach unifère commutative. Soit x = (x λ ) λ∈Λ une famille d’éléments de
A.
a) On suppose que la sous-algèbre pleine de A engendrée par la famille x est dense dans A. L’application de X(A) dans C Λ définie par x
est un homéomorphisme de X(A) sur le spectre simultané Sp
Λ
A (x) ;
b) On suppose que la sous-algèbre unifère de A engendrée par la
famille x est dense dans A. Pour tout c ∈ C Λ , les conditions suivantes
sont équivalentes :
(i) c ∈ Sp
Λ
A (x) ;
(ii) |P(c)| (P(x)) pour tout polynôme P ∈ C[(X λ ) λ∈Λ ] ;
(iii) |P(c)| P(x) pour tout polynôme P ∈ C[(X λ ) λ∈Λ ].
a) L’application de X(A) dans Sp
Λ
A (x) définie par la famille x est
continue et surjective. Soient χ, χ ∈ X(A) des caractères ayant la
même image, c’est-à-dire tels que χ(x λ ) = χ (x λ ) pour tout λ ∈ Λ. Les
caractères χ et χ coïncident sur les éléments de la forme P(x)Q(x) −1 ,
où P ∈ C[(X λ )], Q ∈ C[(X λ )] et Q(x) est inversible dans A, c’est-à-dire
sur la sous-algèbre pleine de A engendrée par les éléments x λ (lemme 2
de I, p. 6). Puisque χ et χ sont continus (th. 1 de I, p. 29), ils sont
donc égaux sur A. Cela démontre que X(h) est une bijection continue
de X(A) sur Sp
Λ
A (x), et par suite c’est un homéomorphisme puisque
X(A) est compact.
b) Montrons que (i) implique (ii) : si c = (c λ ) λ∈Λ ∈ Sp
Λ
A (x), il existe
χ ∈ X(A) tel que c λ = χ(x λ ) pour tout λ. Pour tout P ∈ C[(X λ )], on
a donc |P(c)| = |P((χ(x λ )) λ∈Λ )| = |χ(P(x))|
L’assertion (ii) implique (iii) en raison de l’inégalité (x) x,
valide pour tout x ∈ A par définition du rayon spectral.
Montrons finalement que (iii) implique (i). Soit c = (c λ ) λ∈Λ ∈ C Λ
tel que
(2)
|P(c)| P(x)
pour tout P ∈ C[(X λ )]. Soit A la sous-algèbre unifère de A engendrée par la famille x ; ses éléments sont de la forme P(x) pour
P ∈ C[(X λ )]. La majoration (2) implique que la condition P(x) = 0