TS I.42
ALGÈBRES DE BANACH COMMUTATIVES
§ 3
Soient d’autre part A une algèbre de Banach commutative unifère
et x = (x λ ) λ∈Λ une famille d’éléments de A. Il existe un morphisme
unifère h et un seul de C Λ dans A tel que h(X λ ) = x λ pour tout λ.
L’application continue X(h) de X(A) dans C Λ est l’application qui à χ
associe la famille (χ(x λ )) λ∈Λ . On l’appelle l’application de X(A) dans
C Λ définie par x.
Définition 2. — L’image de l’application X(h) est appelée le spectre
simultané de x, et notée Sp
Λ
A (x) ou Sp
Λ (x).
Le spectre simultané de x est une partie compacte de C Λ . Un élément c = (c λ ) ∈ C Λ appartient à Sp
Λ
A (x) si et seulement si les éléments
x λ − c λ appartiennent à un même idéal maximal de A, autrement dit
si la famille (x λ − c λ ) λ∈Λ n’engendre pas l’algèbre A.
Si Λ contient un seul élément, de sorte que la famille x se réduit
à un seul élément x ∈ A, on a Sp
Λ
A (x) = Sp A (x) (I, p. 37, prop. 6,
b)). Si Λ ⊂ Λ, alors Sp
Λ
A ((x λ ) λ∈Λ ) est l’image de Sp
Λ
A ((x λ ) λ∈Λ ) par
l’application canonique de projection de C Λ sur C Λ . En particulier,
on a
Sp
Λ
A (x) ⊂
λ∈Λ
Sp A (x λ ).
Notons z λ , pour λ ∈ Λ, les fonctions coordonnées sur C Λ . Si χ ∈
X(A), la valeur en χ de z λ ◦ X(h) est χ(x λ ), donc z λ ◦ X(h) = G (x λ ).
Soient A et B des algèbres de Banach commutatives unifères, ϕ un
morphisme unifère de A dans B, et x = (x λ ) λ∈Λ une famille d’éléments
de A. Notons ϕ(x) la famille (ϕ(x λ )) λ∈Λ d’éléments de B. On a, pour
tout χ ∈ X(B), et tout λ ∈ Λ
χ(ϕ(x λ )) = (X(ϕ)(χ))(x λ ),
donc Sp
Λ
B (ϕ(x)) ⊂ Sp
Λ
A (x). Le diagramme
(1)
X(B)
X(A)
Sp
Λ
B (ϕ(x))
Sp
Λ
A (x)
←
→
X(ϕ)
←
→
←
→
←
→
i
où i désigne l’inclusion, et où les flèches verticales désignent les applications définies par les familles ϕ(x) et x, est donc commutatif.
Exemple. — Soit K ⊂ C Λ une partie compacte. Soit z = (z λ ) λ∈Λ
la famille dans C (K) des restrictions à K des fonctions coordonnées
ALGÈBRES DE BANACH COMMUTATIVES
§ 3
Soient d’autre part A une algèbre de Banach commutative unifère
et x = (x λ ) λ∈Λ une famille d’éléments de A. Il existe un morphisme
unifère h et un seul de C Λ dans A tel que h(X λ ) = x λ pour tout λ.
L’application continue X(h) de X(A) dans C Λ est l’application qui à χ
associe la famille (χ(x λ )) λ∈Λ . On l’appelle l’application de X(A) dans
C Λ définie par x.
Définition 2. — L’image de l’application X(h) est appelée le spectre
simultané de x, et notée Sp
Λ
A (x) ou Sp
Λ (x).
Le spectre simultané de x est une partie compacte de C Λ . Un élément c = (c λ ) ∈ C Λ appartient à Sp
Λ
A (x) si et seulement si les éléments
x λ − c λ appartiennent à un même idéal maximal de A, autrement dit
si la famille (x λ − c λ ) λ∈Λ n’engendre pas l’algèbre A.
Si Λ contient un seul élément, de sorte que la famille x se réduit
à un seul élément x ∈ A, on a Sp
Λ
A (x) = Sp A (x) (I, p. 37, prop. 6,
b)). Si Λ ⊂ Λ, alors Sp
Λ
A ((x λ ) λ∈Λ ) est l’image de Sp
Λ
A ((x λ ) λ∈Λ ) par
l’application canonique de projection de C Λ sur C Λ . En particulier,
on a
Sp
Λ
A (x) ⊂
λ∈Λ
Sp A (x λ ).
Notons z λ , pour λ ∈ Λ, les fonctions coordonnées sur C Λ . Si χ ∈
X(A), la valeur en χ de z λ ◦ X(h) est χ(x λ ), donc z λ ◦ X(h) = G (x λ ).
Soient A et B des algèbres de Banach commutatives unifères, ϕ un
morphisme unifère de A dans B, et x = (x λ ) λ∈Λ une famille d’éléments
de A. Notons ϕ(x) la famille (ϕ(x λ )) λ∈Λ d’éléments de B. On a, pour
tout χ ∈ X(B), et tout λ ∈ Λ
χ(ϕ(x λ )) = (X(ϕ)(χ))(x λ ),
donc Sp
Λ
B (ϕ(x)) ⊂ Sp
Λ
A (x). Le diagramme
(1)
X(B)
X(A)
Sp
Λ
B (ϕ(x))
Sp
Λ
A (x)
←
→
X(ϕ)
←
→
←
→
←
→
i
où i désigne l’inclusion, et où les flèches verticales désignent les applications définies par les familles ϕ(x) et x, est donc commutatif.
Exemple. — Soit K ⊂ C Λ une partie compacte. Soit z = (z λ ) λ∈Λ
la famille dans C (K) des restrictions à K des fonctions coordonnées