N
o 6
SPECTRE SIMULTANÉ
TS I.41
La condition nécessaire de la proposition n’est pas suffisante, même
si h est isométrique (I, p. 168, exerc. 14). On a toutefois le résultat
suivant :
Proposition 11. — Soient A et B des algèbres de Banach unifères
commutatives, soit a un élément de A et soit h : A → B un morphisme
injectif unifère (non nécessairement continu). On suppose que la sousalgèbre fermée pleine de A engendrée par a est égale à A. Les conditions
suivantes sont équivalentes :
(i) X(h) est surjectif ;
(ii) h(A) est une sous-algèbre pleine de B ;
(iii) Sp A (a) = Sp B (h(a)).
(i) =⇒ (ii) résulte de la prop. 10.
(ii) =⇒ (iii) résulte de la formule Sp A (a) = Sp h(A) (h(a)) =
Sp B (h(a)), valide puisque h(A) est une sous-algèbre pleine de B.
(iii) =⇒ (i) d’après la formule (4) du n
o 6 de I, p. 6, on a le diagramme commutatif
X(B)
X(A)
Sp B (h(a))
Sp A (a)
←
→
X(h)
←
→
G B (h(a))
←
→
G A (a)
←
→
i
où les flèches verticales désignent des applications surjectives (I, p. 37,
prop. 6) et i est l’inclusion canonique. L’hypothèse (iii) signifie que i
est bijective. De plus l’application surjective G A (a) : X(A) → Sp A (a)
est bijective : en effet, pour tout caractères χ 1 et χ 2 de A, l’ensemble
A χ 1 ,χ 2 = {x ∈ A | χ 1 (x) = χ 2 (x)} est une sous-algèbre fermée pleine
de A. Par hypothèse, on a donc A χ 1 ,χ 2 = A si a ∈ A χ 1 ,χ 2 , c’est-àdire χ 1 = χ 2 si G A (a)χ 1 = G A (a)χ 2 . Le diagramme implique alors que
l’application X(h) est surjective.
6. Spectre simultané
Soit Λ un ensemble. Soit C Λ = C[(X λ ) λ∈Λ ] l’algèbre unifère des polynômes complexes par rapport à une famille d’indéterminées (X λ ) λ∈Λ .
Pour tout χ ∈ X(C Λ ), on a (χ(X λ )) λ∈Λ ∈ C Λ ; l’application χ →
(χ(X λ )) λ∈Λ est un homéomorphisme de X(C Λ ) sur l’espace produit C Λ ,
par lequel on identifie ces espaces.
o 6
SPECTRE SIMULTANÉ
TS I.41
La condition nécessaire de la proposition n’est pas suffisante, même
si h est isométrique (I, p. 168, exerc. 14). On a toutefois le résultat
suivant :
Proposition 11. — Soient A et B des algèbres de Banach unifères
commutatives, soit a un élément de A et soit h : A → B un morphisme
injectif unifère (non nécessairement continu). On suppose que la sousalgèbre fermée pleine de A engendrée par a est égale à A. Les conditions
suivantes sont équivalentes :
(i) X(h) est surjectif ;
(ii) h(A) est une sous-algèbre pleine de B ;
(iii) Sp A (a) = Sp B (h(a)).
(i) =⇒ (ii) résulte de la prop. 10.
(ii) =⇒ (iii) résulte de la formule Sp A (a) = Sp h(A) (h(a)) =
Sp B (h(a)), valide puisque h(A) est une sous-algèbre pleine de B.
(iii) =⇒ (i) d’après la formule (4) du n
o 6 de I, p. 6, on a le diagramme commutatif
X(B)
X(A)
Sp B (h(a))
Sp A (a)
←
→
X(h)
←
→
G B (h(a))
←
→
G A (a)
←
→
i
où les flèches verticales désignent des applications surjectives (I, p. 37,
prop. 6) et i est l’inclusion canonique. L’hypothèse (iii) signifie que i
est bijective. De plus l’application surjective G A (a) : X(A) → Sp A (a)
est bijective : en effet, pour tout caractères χ 1 et χ 2 de A, l’ensemble
A χ 1 ,χ 2 = {x ∈ A | χ 1 (x) = χ 2 (x)} est une sous-algèbre fermée pleine
de A. Par hypothèse, on a donc A χ 1 ,χ 2 = A si a ∈ A χ 1 ,χ 2 , c’est-àdire χ 1 = χ 2 si G A (a)χ 1 = G A (a)χ 2 . Le diagramme implique alors que
l’application X(h) est surjective.
6. Spectre simultané
Soit Λ un ensemble. Soit C Λ = C[(X λ ) λ∈Λ ] l’algèbre unifère des polynômes complexes par rapport à une famille d’indéterminées (X λ ) λ∈Λ .
Pour tout χ ∈ X(C Λ ), on a (χ(X λ )) λ∈Λ ∈ C Λ ; l’application χ →
(χ(X λ )) λ∈Λ est un homéomorphisme de X(C Λ ) sur l’espace produit C Λ ,
par lequel on identifie ces espaces.