TS I.40
ALGÈBRES DE BANACH COMMUTATIVES
§ 3
5. Morphismes d’algèbres de Banach commutatives
Proposition 9. — Soit A une algèbre de Banach, soit B une algèbre
de Banach commutative et sans radical, Tout morphisme de l’algèbre
sous-jacente à A dans l’algèbre sous-jacente à B est continu.
Soit h : A → B un morphisme d’algèbres et soit (a, b) ∈ A × B
un point adhérent au graphe Γ de h. Soit χ ∈ X (B). La fonction
x → χ(h(x)) de A dans C est un homomorphisme d’algèbres, donc est
continu (I, p. 29, th. 1). L’application de A × B dans C donnée par
(x, y) → χ(h(x)) − χ(y) est alors continue, elle est nulle sur Γ, donc
nulle en (a, b). On a ainsi χ(h(a)) = χ(b) pour tout χ ∈ X (B). Comme
B est sans radical, on a h(a) = b. Ainsi le graphe de h est fermé et
donc h est continu (EVT, I, p. 19, cor. 5).
Corollaire. — Sur une algèbre complexe commutative sans radical,
deux normes définissant des structures d’algèbre de Banach sont équivalentes.
Il suffit d’appliquer la prop. 9 à l’application identique de l’algèbre.
Soient A et B des algèbres de Banach commutatives. D’après le n
o 7
de I, p. 9, si h : A → B est un morphisme surjectif, X (h) est un homéomorphisme de X (B) sur un sous-espace fermé de X (A) qui transforme
0 en 0. (Dans le cas où h est l’injection d’une sous-algèbre dans C (X),
l’application X (h) est injective sous des hypothèses beaucoup plus
faibles, cf. I, p. 142, prop. 1, d).)
Soit maintenant h : A → B un morphisme injectif. En général, X (h)
n’est pas surjectif, mais la proposition suivante fournit une condition
nécessaire pour que ce soit le cas.
Proposition 10. — Soient A et B des algèbres de Banach unifères
commutatives, h : A → B un morphisme d’algèbres unifère, non nécessairement continu. Si X(h) est surjectif, alors h(A) est une sous-algèbre
pleine de B.
Soit x ∈ A tel que h(x) soit inversible dans B. Pour tout χ ∈ X(A),
il existe ξ ∈ X(B) tel que χ = X(h)(ξ), donc χ(x) = ξ(h(x)) = 0. La
prop. 6 de I, p. 37 montre alors que x est inversible dans A, et donc
que h(x) est inversible dans h(A).
ALGÈBRES DE BANACH COMMUTATIVES
§ 3
5. Morphismes d’algèbres de Banach commutatives
Proposition 9. — Soit A une algèbre de Banach, soit B une algèbre
de Banach commutative et sans radical, Tout morphisme de l’algèbre
sous-jacente à A dans l’algèbre sous-jacente à B est continu.
Soit h : A → B un morphisme d’algèbres et soit (a, b) ∈ A × B
un point adhérent au graphe Γ de h. Soit χ ∈ X (B). La fonction
x → χ(h(x)) de A dans C est un homomorphisme d’algèbres, donc est
continu (I, p. 29, th. 1). L’application de A × B dans C donnée par
(x, y) → χ(h(x)) − χ(y) est alors continue, elle est nulle sur Γ, donc
nulle en (a, b). On a ainsi χ(h(a)) = χ(b) pour tout χ ∈ X (B). Comme
B est sans radical, on a h(a) = b. Ainsi le graphe de h est fermé et
donc h est continu (EVT, I, p. 19, cor. 5).
Corollaire. — Sur une algèbre complexe commutative sans radical,
deux normes définissant des structures d’algèbre de Banach sont équivalentes.
Il suffit d’appliquer la prop. 9 à l’application identique de l’algèbre.
Soient A et B des algèbres de Banach commutatives. D’après le n
o 7
de I, p. 9, si h : A → B est un morphisme surjectif, X (h) est un homéomorphisme de X (B) sur un sous-espace fermé de X (A) qui transforme
0 en 0. (Dans le cas où h est l’injection d’une sous-algèbre dans C (X),
l’application X (h) est injective sous des hypothèses beaucoup plus
faibles, cf. I, p. 142, prop. 1, d).)
Soit maintenant h : A → B un morphisme injectif. En général, X (h)
n’est pas surjectif, mais la proposition suivante fournit une condition
nécessaire pour que ce soit le cas.
Proposition 10. — Soient A et B des algèbres de Banach unifères
commutatives, h : A → B un morphisme d’algèbres unifère, non nécessairement continu. Si X(h) est surjectif, alors h(A) est une sous-algèbre
pleine de B.
Soit x ∈ A tel que h(x) soit inversible dans B. Pour tout χ ∈ X(A),
il existe ξ ∈ X(B) tel que χ = X(h)(ξ), donc χ(x) = ξ(h(x)) = 0. La
prop. 6 de I, p. 37 montre alors que x est inversible dans A, et donc
que h(x) est inversible dans h(A).