N
o 4
TRANSFORMATION DE GELFAND
TS I.39
Proposition 8. — Soit A une algèbre de Banach commutative. Les
quatre ensembles suivants sont égaux :
(i) Le noyau de la transformation de Gelfand ;
(ii) L’ensemble des éléments x de A tels que Sp
A (x) = {0} ;
(iii) L’ensemble des éléments quasi-nilpotents de A ;
(iv) Le radical de A.
Notons N 1 , N 2 , N 3 , N 4 , respectivement, ces ensembles. On a N 1 =
N 2 (prop. 6, a)), et N 2 = N 3 (I, p. 28, cor. 5). Par définition, l’ensemble N 4 est l’intersection des idéaux maximaux réguliers de A ; c’est
donc l’intersection des noyaux des caractères de A (th. 2 de I, p. 30),
qui est égal à N 1 .
Remarques. — 1) En général, l’image de la transformation de Gelfand
n’est ni fermée dans C 0 (X(A)), ni dense dans C 0 (X(A)) (exerc. 7 de I,
p. 193).
2) L’image de la transformation de Gelfand sépare les points de
X(A), puisque si χ 1 = χ 2 sont des éléments de X(A), il existe x ∈ A
tel que χ 1 (x) = χ 2 (x).
3) Si χ ∈ X(A), il existe un élément de l’image de la transformation
de Gelfand qui ne s’annule pas en χ.
4) Si A possède un élément unité, l’image de la transformation de
Gelfand est une sous-algèbre pleine de l’algèbre des fonctions continues
sur X(A) (prop. 6, b)).
Lemme 2. — Soit A une algèbre de Banach commutative. Soit M une
partie de X(A). Alors M est fermée pour la topologie de Jacobson si et
seulement si, pour tout caractère χ ∈ X(A) M, il existe un élément
x de A tel que G (x) soit nul sur M et non nul en χ.
Soit Υ(M) l’intersection des noyaux des éléments de M. L’ensemble M est fermé pour la topologie de Jacobson si et seulement si
M = V(Υ(M)) (cf. I, p. 13 et I, p. 30). Cette condition équivaut à dire
que les éléments χ de M sont précisément les caractères qui s’annulent
sur Υ(M). Par conséquent M est fermé si et seulement si pour tout
caractère χ /
∈ M, il existe x ∈ Υ(M) tel que χ(x) = 0. Cela se traduit
en G (x)(χ) = 0 et G (x)|M = 0.