TS I.38
ALGÈBRES DE BANACH COMMUTATIVES
§ 3
Supposons que A admette un élément unité. On sait que, pour tout
χ ∈ X(A), on a χ(x) ∈ Sp A (x). Réciproquement, soit λ ∈ Sp A (x).
Alors x − λ n’est pas inversible, donc appartient à un idéal maximal
de A. Il existe alors χ ∈ X(A) tel que χ(x − λ) = 0 (th. 2 de I, p. 30),
d’où b).
Passons au cas général. Soit
A l’algèbre de Banach obtenue à partir
de A par adjonction d’un élément unité ; elle est commutative. L’ensemble Sp
A (x) est égal à Sp
A
(x), c’est-à-dire à l’ensemble des valeurs
de G
A
(x) sur X(
A) = X (A). D’où a).
Exemple. — Considérons l’algèbre de Banach A des séries de Fourier
absolument convergentes (exemple 4). La prop. 6, b) implique que si ϕ
est une fonction sur le cercle unité U admettant une série de Fourier
absolument convergente, et si ϕ ne s’annule pas, la fonction 1/ϕ admet
également une série de Fourier absolument convergente (« théorème de
Wiener »).
Proposition 7. — Soit A une algèbre de Banach commutative.
a) La transformation de Gelfand G définit un morphisme de A dans
C 0 (X(A)) tel que G (x) = (x) x pour tout x ∈ A ;
b) Pour que la transformation de Gelfand G soit isométrique, il faut
et il suffit que x 2 = x 2 pour tout x ∈ A.
L’application G est un morphisme de A dans C 0 (X(A)) d’après le
n o 7 de I, p. 9 et la prop. 5 de I, p. 37, et vérifie G (x) = (x) d’après
la prop. 6 et le cor. 5 de I, p. 28. L’assertion b) résulte de a) et de la
remarque 1 de I, p. 21.
Corollaire. — Soient A une algèbre de Banach, x et y des éléments
permutables de A.
a) On a (xy) (x)(y) et (x + y) (x) + (y) ;
b) Si y est quasi-nilpotent, alors Sp
A (x) = Sp
A (x + y) ; si de plus
A est unifère, alors Sp A (x) = Sp A (x + y).
En considérant l’algèbre de Banach déduite de A par adjonction
d’un élément unité, on se ramène d’abord au cas où l’algèbre A est
unifère. Puis en considérant la sous-algèbre pleine fermée de A engendrée par x et y, on se ramène au cas où A est commutative et unifère.
L’assertion a) est alors une conséquence de la prop. 7, a), et l’assertion
b) découle de la prop. 6 de I, p. 37 et du cor. 5 de I, p. 28.
ALGÈBRES DE BANACH COMMUTATIVES
§ 3
Supposons que A admette un élément unité. On sait que, pour tout
χ ∈ X(A), on a χ(x) ∈ Sp A (x). Réciproquement, soit λ ∈ Sp A (x).
Alors x − λ n’est pas inversible, donc appartient à un idéal maximal
de A. Il existe alors χ ∈ X(A) tel que χ(x − λ) = 0 (th. 2 de I, p. 30),
d’où b).
Passons au cas général. Soit
A l’algèbre de Banach obtenue à partir
de A par adjonction d’un élément unité ; elle est commutative. L’ensemble Sp
A (x) est égal à Sp
A
(x), c’est-à-dire à l’ensemble des valeurs
de G
A
(x) sur X(
A) = X (A). D’où a).
Exemple. — Considérons l’algèbre de Banach A des séries de Fourier
absolument convergentes (exemple 4). La prop. 6, b) implique que si ϕ
est une fonction sur le cercle unité U admettant une série de Fourier
absolument convergente, et si ϕ ne s’annule pas, la fonction 1/ϕ admet
également une série de Fourier absolument convergente (« théorème de
Wiener »).
Proposition 7. — Soit A une algèbre de Banach commutative.
a) La transformation de Gelfand G définit un morphisme de A dans
C 0 (X(A)) tel que G (x) = (x) x pour tout x ∈ A ;
b) Pour que la transformation de Gelfand G soit isométrique, il faut
et il suffit que x 2 = x 2 pour tout x ∈ A.
L’application G est un morphisme de A dans C 0 (X(A)) d’après le
n o 7 de I, p. 9 et la prop. 5 de I, p. 37, et vérifie G (x) = (x) d’après
la prop. 6 et le cor. 5 de I, p. 28. L’assertion b) résulte de a) et de la
remarque 1 de I, p. 21.
Corollaire. — Soient A une algèbre de Banach, x et y des éléments
permutables de A.
a) On a (xy) (x)(y) et (x + y) (x) + (y) ;
b) Si y est quasi-nilpotent, alors Sp
A (x) = Sp
A (x + y) ; si de plus
A est unifère, alors Sp A (x) = Sp A (x + y).
En considérant l’algèbre de Banach déduite de A par adjonction
d’un élément unité, on se ramène d’abord au cas où l’algèbre A est
unifère. Puis en considérant la sous-algèbre pleine fermée de A engendrée par x et y, on se ramène au cas où A est commutative et unifère.
L’assertion a) est alors une conséquence de la prop. 7, a), et l’assertion
b) découle de la prop. 6 de I, p. 37 et du cor. 5 de I, p. 28.