N
o 4
TRANSFORMATION DE GELFAND
TS I.37
du cercle unité U, l’application f → f (u) est un caractère ev u de A. Si
f 0 ∈ A est l’application identique de U, on a ev u (f 0 ) = u, donc l’application ev : u → ev u de U dans X(A) est injective ; elle est continue.
Soit χ ∈ X(A). On a f 0 = f
−1
0 = 1, donc |χ(f 0 )| 1 et
|χ(f 0 ) −1 | 1. Cela montre que χ(f 0 ) ∈ U et il existe u ∈ U tel que
χ(f 0 ) = ev u (f 0 ). Comme {f 0 , f
−1
0 } engendre topologiquement l’algèbre
unifère A, on a χ = ev u . Ainsi, l’application ev est un homéomorphisme
de U sur X(A), par lequel on identifie ces espaces. La transformation
de Gelfand de A s’identifie alors à l’inclusion de A dans C (U).
Puisque A est isomorphe à l’algèbre de Banach L 1 (Z) (exemple 8
de I, p. 19), l’espace X(L 1 (Z)) s’identifie à U et, pour tout élément
(c n ) ∈ L 1 (Z), la transformée de Gelfand G L 1 (Z) ((c n )) s’identifie à la
fonction u →
n∈Z c n u n sur U.
5) Soit ∆ le disque unité des nombres complexes z tels que |z| 1.
Sa frontière dans C est U. Soit A l’algèbre de Banach des fonctions
complexes f sur U telles qu’il existe une fonction continue
f ∈ C (∆)
prolongeant f qui est analytique dans ˚
∆, munie de la norme f =
sup z∈U |f (z)|. En vertu du principe du maximum (VAR, R1, p. 30,
3.3.7), on a alors f = sup z∈∆ |
f (z)|, et donc A coïncide avec l’algèbre
de l’exemple 9 de I, p. 20. L’ensemble X(A) s’identifie à ∆ et, si f ∈ A,
l’application G (f ) s’identifie avec le prolongement continu de f dans ∆
qui est analytique dans ˚
∆ (cf. exerc. 6 de I, p. 193).
Proposition 5. — Soit A une algèbre de Banach commutative. Pour
tout x ∈ A, la fonction G (x) appartient à l’algèbre de Banach commutative C 0 (X(A)) des fonctions continues sur X(A) tendant vers 0 à
l’infini.
Par définition (cf. n
o 7 de I, p. 9), la fonction G
A (x) : χ → χ(x) est
continue sur X (A) et nulle en 0. Comme X (A) s’identifie au compactifié d’Alexandroff de X(A) d’après le cor. 1 de I, p. 29, la proposition
en résulte.
Proposition 6. — Soit A une algèbre de Banach commutative et soit
x ∈ A.
a) La réunion de l’ensemble des valeurs de G (x) et de {0} est égale
à Sp
A (x) ;
b) Si A admet un élément unité, l’ensemble des valeurs de G (x) est
Sp A (x). En particulier, pour que x soit inversible, il faut et il suffit
que G (x) ne s’annule pas.
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TRANSFORMATION DE GELFAND
TS I.37
du cercle unité U, l’application f → f (u) est un caractère ev u de A. Si
f 0 ∈ A est l’application identique de U, on a ev u (f 0 ) = u, donc l’application ev : u → ev u de U dans X(A) est injective ; elle est continue.
Soit χ ∈ X(A). On a f 0 = f
−1
0 = 1, donc |χ(f 0 )| 1 et
|χ(f 0 ) −1 | 1. Cela montre que χ(f 0 ) ∈ U et il existe u ∈ U tel que
χ(f 0 ) = ev u (f 0 ). Comme {f 0 , f
−1
0 } engendre topologiquement l’algèbre
unifère A, on a χ = ev u . Ainsi, l’application ev est un homéomorphisme
de U sur X(A), par lequel on identifie ces espaces. La transformation
de Gelfand de A s’identifie alors à l’inclusion de A dans C (U).
Puisque A est isomorphe à l’algèbre de Banach L 1 (Z) (exemple 8
de I, p. 19), l’espace X(L 1 (Z)) s’identifie à U et, pour tout élément
(c n ) ∈ L 1 (Z), la transformée de Gelfand G L 1 (Z) ((c n )) s’identifie à la
fonction u →
n∈Z c n u n sur U.
5) Soit ∆ le disque unité des nombres complexes z tels que |z| 1.
Sa frontière dans C est U. Soit A l’algèbre de Banach des fonctions
complexes f sur U telles qu’il existe une fonction continue
f ∈ C (∆)
prolongeant f qui est analytique dans ˚
∆, munie de la norme f =
sup z∈U |f (z)|. En vertu du principe du maximum (VAR, R1, p. 30,
3.3.7), on a alors f = sup z∈∆ |
f (z)|, et donc A coïncide avec l’algèbre
de l’exemple 9 de I, p. 20. L’ensemble X(A) s’identifie à ∆ et, si f ∈ A,
l’application G (f ) s’identifie avec le prolongement continu de f dans ∆
qui est analytique dans ˚
∆ (cf. exerc. 6 de I, p. 193).
Proposition 5. — Soit A une algèbre de Banach commutative. Pour
tout x ∈ A, la fonction G (x) appartient à l’algèbre de Banach commutative C 0 (X(A)) des fonctions continues sur X(A) tendant vers 0 à
l’infini.
Par définition (cf. n
o 7 de I, p. 9), la fonction G
A (x) : χ → χ(x) est
continue sur X (A) et nulle en 0. Comme X (A) s’identifie au compactifié d’Alexandroff de X(A) d’après le cor. 1 de I, p. 29, la proposition
en résulte.
Proposition 6. — Soit A une algèbre de Banach commutative et soit
x ∈ A.
a) La réunion de l’ensemble des valeurs de G (x) et de {0} est égale
à Sp
A (x) ;
b) Si A admet un élément unité, l’ensemble des valeurs de G (x) est
Sp A (x). En particulier, pour que x soit inversible, il faut et il suffit
que G (x) ne s’annule pas.