TS I.36
ALGÈBRES DE BANACH COMMUTATIVES
§ 3
Il n’est pas vrai que le foncteur composé A → C 0 (X(A)) soit isomorphe au foncteur identique de la catégorie des algèbres de Banach
commutatives complexes (cf. exemple 2 de I, p. 36 et exercice 2 de I,
p. 155). On verra cependant un énoncé de ce type pour les algèbres
stellaires commutatives (numéro 5 de I, p. 107). *
4. Transformation de Gelfand
Soit A une algèbre de Banach commutative. Rappelons que, pour
tout x ∈ A, on note G A (x), ou G (x), la fonction χ → χ(x) sur X(A),
que G (x) s’appelle la transformée de Gelfand de x, et que l’application
x → G (x) s’appelle transformation de Gelfand (cf. déf. 5 de I, p. 7).
On a donc par définition :
G (x)(χ) = χ(x).
Exemples. — 1) Soit X un espace topologique localement compact et
considérons l’algèbre de Banach commutative C 0 (X) (exemple 3 de I,
p. 17 et numéro 2 de I, p. 31). D’après le cor. 1 de I, p. 32, l’espace
des caractères X(C 0 (X)) s’identifie à X par le biais de l’application
associant à un élément x ∈ X le caractère f → f (x) de C 0 (X), et
la transformation de Gelfand de C 0 (X) s’identifie alors à l’application
identique.
2) Soit n 0 un entier. Soit A n l’algèbre des fonctions f : [0, 1] → K
admettant des dérivées continues dans [0, 1] jusqu’à l’ordre n. Munie
de la norme
f =
n
k=0
1
k!
sup
0t1
|f
(k) (t)|,
c’est une algèbre de Banach (exemple 4 de I, p. 18). Pour tout n,
l’espace des caractères X(A n ) s’identifie à [0, 1] et G à l’inclusion de A n
dans C ([0, 1]) (cf. exemple 1 de I, p. 144).
3) Soit ∆ le disque des nombres complexes z vérifiant |z| 1 et
soit A l’algèbre de Banach complexe des fonctions continues sur ∆ analytiques dans l’intérieur de ∆, munie de la norme f = sup z∈∆ |f (z)|
(exemple 9 de I, p. 20). Alors X(A) s’identifie à ∆ et G à l’inclusion
de A dans C (∆) (cf. exerc. 6 de I, p. 193).
4) Considérons l’algèbre de Banach complexe A des séries de Fourier
absolument convergentes (exemple 8 de I, p. 19). Pour tout élément u
ALGÈBRES DE BANACH COMMUTATIVES
§ 3
Il n’est pas vrai que le foncteur composé A → C 0 (X(A)) soit isomorphe au foncteur identique de la catégorie des algèbres de Banach
commutatives complexes (cf. exemple 2 de I, p. 36 et exercice 2 de I,
p. 155). On verra cependant un énoncé de ce type pour les algèbres
stellaires commutatives (numéro 5 de I, p. 107). *
4. Transformation de Gelfand
Soit A une algèbre de Banach commutative. Rappelons que, pour
tout x ∈ A, on note G A (x), ou G (x), la fonction χ → χ(x) sur X(A),
que G (x) s’appelle la transformée de Gelfand de x, et que l’application
x → G (x) s’appelle transformation de Gelfand (cf. déf. 5 de I, p. 7).
On a donc par définition :
G (x)(χ) = χ(x).
Exemples. — 1) Soit X un espace topologique localement compact et
considérons l’algèbre de Banach commutative C 0 (X) (exemple 3 de I,
p. 17 et numéro 2 de I, p. 31). D’après le cor. 1 de I, p. 32, l’espace
des caractères X(C 0 (X)) s’identifie à X par le biais de l’application
associant à un élément x ∈ X le caractère f → f (x) de C 0 (X), et
la transformation de Gelfand de C 0 (X) s’identifie alors à l’application
identique.
2) Soit n 0 un entier. Soit A n l’algèbre des fonctions f : [0, 1] → K
admettant des dérivées continues dans [0, 1] jusqu’à l’ordre n. Munie
de la norme
f =
n
k=0
1
k!
sup
0t1
|f
(k) (t)|,
c’est une algèbre de Banach (exemple 4 de I, p. 18). Pour tout n,
l’espace des caractères X(A n ) s’identifie à [0, 1] et G à l’inclusion de A n
dans C ([0, 1]) (cf. exemple 1 de I, p. 144).
3) Soit ∆ le disque des nombres complexes z vérifiant |z| 1 et
soit A l’algèbre de Banach complexe des fonctions continues sur ∆ analytiques dans l’intérieur de ∆, munie de la norme f = sup z∈∆ |f (z)|
(exemple 9 de I, p. 20). Alors X(A) s’identifie à ∆ et G à l’inclusion
de A dans C (∆) (cf. exerc. 6 de I, p. 193).
4) Considérons l’algèbre de Banach complexe A des séries de Fourier
absolument convergentes (exemple 8 de I, p. 19). Pour tout élément u