N
o 3
APPLICATIONS PARTIELLES PROPRES
TS I.35
ϕ(ω X ) = ω Y . Pour f ∈ C 0 (Y), on a (f ◦ ϕ)(ω X ) = f (ω Y ) = 0, donc
l’application ϕ ∗ est bien définie. C’est un morphisme d’algèbres.
Démontrons que X (ϕ ∗ ) s’identifie à ϕ. Soit x ∈ X. Pour toute fonction f ∈ C 0 (Y), le caractère X (ϕ ∗ )(ev x ) associe à f le nombre complexe
(ev x ◦ ϕ
∗ )(f ) = ev x (f ◦ ϕ) = f (ϕ(x)),
donc X (ϕ ∗ )(ev x ) = ev ϕ(x) . Cela démontre l’assertion.
Inversement, soit π : C 0 (Y) → C 0 (X) un morphisme d’algèbres. Démontrons que X (π) ∗ = π. Soit f ∈ C 0 (Y), et notons g = X (π) ∗ (f ) ∈
C 0 (X). Pour tout x ∈ X, on a
g(x) = (f ◦ X
(π))(x) = ev X (π)(x) (f ) = (ev x ◦ π)(f ) = π(f )(x),
puisque X (π) vérifie ev X (π)(x) = ev x ◦ π. On a donc g = π(f ), ce qui
permet de conclure que X (π) ∗ = π.
De manière tout à fait similaire, on a :
Proposition 4. — Supposons que X et Y sont compacts. Identifions
l’espace X (resp. l’espace Y) à X(C (X)) (resp. X(C (Y))) (corollaire 3
de I, p. 33).
a) Pour toute application continue ϕ : X → Y, l’application
ϕ ∗ : f → f ◦ ϕ est un morphisme d’algèbres de C (Y) dans C (X) ;
b) Les applications ϕ → ϕ ∗ et π → X(π) sont des bijections réciproques entre l’ensemble des applications continues de X dans Y et
l’ensemble des morphismes d’algèbres de C (Y) dans C (X).
Remarque. — * Dans le langage de la théorie des catégories, les résultats qui précèdent s’interprètent de la manière suivante. Soit G la
catégorie dont les objets sont les espaces topologiques localement compacts et les morphismes les applications partielles propres. Le foncteur
X → C 0 (X) est un foncteur contravariant, pleinement fidèle, de la
catégorie G dans la catégorie des algèbres de Banach commutatives
complexes. De plus, A → X(A) est un foncteur contravariant de la
catégorie des algèbres de Banach commutatives complexes dans la catégorie G. Si l’on associe à un espace topologique localement compact
X l’homéomorphisme
ev : X → X(C 0 (X)),
on obtient un isomorphisme du foncteur identique de la catégorie G
vers le foncteur composé X → X(C 0 (X)).
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APPLICATIONS PARTIELLES PROPRES
TS I.35
ϕ(ω X ) = ω Y . Pour f ∈ C 0 (Y), on a (f ◦ ϕ)(ω X ) = f (ω Y ) = 0, donc
l’application ϕ ∗ est bien définie. C’est un morphisme d’algèbres.
Démontrons que X (ϕ ∗ ) s’identifie à ϕ. Soit x ∈ X. Pour toute fonction f ∈ C 0 (Y), le caractère X (ϕ ∗ )(ev x ) associe à f le nombre complexe
(ev x ◦ ϕ
∗ )(f ) = ev x (f ◦ ϕ) = f (ϕ(x)),
donc X (ϕ ∗ )(ev x ) = ev ϕ(x) . Cela démontre l’assertion.
Inversement, soit π : C 0 (Y) → C 0 (X) un morphisme d’algèbres. Démontrons que X (π) ∗ = π. Soit f ∈ C 0 (Y), et notons g = X (π) ∗ (f ) ∈
C 0 (X). Pour tout x ∈ X, on a
g(x) = (f ◦ X
(π))(x) = ev X (π)(x) (f ) = (ev x ◦ π)(f ) = π(f )(x),
puisque X (π) vérifie ev X (π)(x) = ev x ◦ π. On a donc g = π(f ), ce qui
permet de conclure que X (π) ∗ = π.
De manière tout à fait similaire, on a :
Proposition 4. — Supposons que X et Y sont compacts. Identifions
l’espace X (resp. l’espace Y) à X(C (X)) (resp. X(C (Y))) (corollaire 3
de I, p. 33).
a) Pour toute application continue ϕ : X → Y, l’application
ϕ ∗ : f → f ◦ ϕ est un morphisme d’algèbres de C (Y) dans C (X) ;
b) Les applications ϕ → ϕ ∗ et π → X(π) sont des bijections réciproques entre l’ensemble des applications continues de X dans Y et
l’ensemble des morphismes d’algèbres de C (Y) dans C (X).
Remarque. — * Dans le langage de la théorie des catégories, les résultats qui précèdent s’interprètent de la manière suivante. Soit G la
catégorie dont les objets sont les espaces topologiques localement compacts et les morphismes les applications partielles propres. Le foncteur
X → C 0 (X) est un foncteur contravariant, pleinement fidèle, de la
catégorie G dans la catégorie des algèbres de Banach commutatives
complexes. De plus, A → X(A) est un foncteur contravariant de la
catégorie des algèbres de Banach commutatives complexes dans la catégorie G. Si l’on associe à un espace topologique localement compact
X l’homéomorphisme
ev : X → X(C 0 (X)),
on obtient un isomorphisme du foncteur identique de la catégorie G
vers le foncteur composé X → X(C 0 (X)).