TS I.34
ALGÈBRES DE BANACH COMMUTATIVES
§ 3
peut supposer que V est de la forme Y K, où K est une partie compacte de Y. Puisque f définit une application propre de U dans Y,
l’ensemble f −1 (K) est compact dans U (TG, I, p. 77, prop. 6), donc
dans X . C’est en particulier une partie fermée de X et
f −1 (V) =
X f −1 (K) est une partie ouverte de X , et est donc un voisinage
de x.
Inversement, soient g : X → Y une application continue telle que
g(ω X ) = ω Y et Γ g ⊂ X × Y son graphe. L’ensemble U = X
−1
g (ω Y )
est ouvert dans X. La correspondance f = (Γ g ∩ (U × Y), X, Y) est une
application partielle propre de X dans Y (TG, I, p. 77, prop. 7) telle
que
f = g, et c’est la seule.
Nous identifierons les applications partielles propres de X dans Y
aux applications continues de X dans Y qui appliquent ω X sur ω Y .
En particulier, les applications propres de X dans Y sont les applications partielles propres de domaine X ; elles s’identifient aux applications continues f de X dans Y telles que que
−1
f (ω Y ) = {ω X }. Si X
est compact, ce sont tout simplement les applications continues de X
dans Y.
Soit A une algèbre de Banach complexe commutative. Rappelons
que X (A) s’identifie à l’espace compact obtenu à partir de X(A) par
adjonction d’un point à l’infini (I, p. 29, corollaire).
Proposition 2. — Soient A et B des algèbres de Banach complexes
commutatives. Pour tout morphisme d’algèbres π : A → B, l’application X (π) est une application partielle propre de X(B) dans X(A).
En effet, X (π) est une application continue de X (B) dans X (A) (I,
p. 10). Le point à l’infini de X (B) (resp. de X (A)) est le caractère nul,
et on a X (π)(0) = 0.
Proposition 3. —
a) Pour toute application partielle propre ϕ
de X dans Y, l’application f → f ◦ ϕ de C (Y ) dans C (X ) induit un
morphisme d’algèbres ϕ ∗ de C 0 (Y) dans C 0 (X) ;
b) L’application ϕ → ϕ ∗ est une bijection de l’ensemble des applications partielles propres de X dans Y sur l’ensemble des morphismes
d’algèbres de C 0 (Y) dans C 0 (X). Sa bijection réciproque est l’application π → X (π).
Démontrons a). Soit ϕ une application partielle propre de X
dans Y, identifiée à une application continue de X dans Y telle que
ALGÈBRES DE BANACH COMMUTATIVES
§ 3
peut supposer que V est de la forme Y K, où K est une partie compacte de Y. Puisque f définit une application propre de U dans Y,
l’ensemble f −1 (K) est compact dans U (TG, I, p. 77, prop. 6), donc
dans X . C’est en particulier une partie fermée de X et
f −1 (V) =
X f −1 (K) est une partie ouverte de X , et est donc un voisinage
de x.
Inversement, soient g : X → Y une application continue telle que
g(ω X ) = ω Y et Γ g ⊂ X × Y son graphe. L’ensemble U = X
−1
g (ω Y )
est ouvert dans X. La correspondance f = (Γ g ∩ (U × Y), X, Y) est une
application partielle propre de X dans Y (TG, I, p. 77, prop. 7) telle
que
f = g, et c’est la seule.
Nous identifierons les applications partielles propres de X dans Y
aux applications continues de X dans Y qui appliquent ω X sur ω Y .
En particulier, les applications propres de X dans Y sont les applications partielles propres de domaine X ; elles s’identifient aux applications continues f de X dans Y telles que que
−1
f (ω Y ) = {ω X }. Si X
est compact, ce sont tout simplement les applications continues de X
dans Y.
Soit A une algèbre de Banach complexe commutative. Rappelons
que X (A) s’identifie à l’espace compact obtenu à partir de X(A) par
adjonction d’un point à l’infini (I, p. 29, corollaire).
Proposition 2. — Soient A et B des algèbres de Banach complexes
commutatives. Pour tout morphisme d’algèbres π : A → B, l’application X (π) est une application partielle propre de X(B) dans X(A).
En effet, X (π) est une application continue de X (B) dans X (A) (I,
p. 10). Le point à l’infini de X (B) (resp. de X (A)) est le caractère nul,
et on a X (π)(0) = 0.
Proposition 3. —
a) Pour toute application partielle propre ϕ
de X dans Y, l’application f → f ◦ ϕ de C (Y ) dans C (X ) induit un
morphisme d’algèbres ϕ ∗ de C 0 (Y) dans C 0 (X) ;
b) L’application ϕ → ϕ ∗ est une bijection de l’ensemble des applications partielles propres de X dans Y sur l’ensemble des morphismes
d’algèbres de C 0 (Y) dans C 0 (X). Sa bijection réciproque est l’application π → X (π).
Démontrons a). Soit ϕ une application partielle propre de X
dans Y, identifiée à une application continue de X dans Y telle que