N
o 3
APPLICATIONS PARTIELLES PROPRES
TS I.33
Corollaire 3. — Supposons X compact. Alors l’application x → ev x
est un homéomorphisme de X sur X(C (X)). La topologie faible et la
topologie de Jacobson coïncident sur X(C (X)).
3. Applications partielles propres
Dans ce numéro, X et Y sont des espaces topologiques localement
compacts. On note X (resp. Y ) l’espace compact obtenu à partir
de X (resp. Y) par adjonction d’un point à l’infini ω X (resp. ω Y ) (TG,
I, p. 67–68). On identifie X et Y à X (C 0 (X)) et X (C 0 (Y)), respectivement (corollaire 2 de I, p. 32).
Définition 1. — Une application partielle propre de X dans Y est
une correspondance f = (Γ, X, Y) (E, II, p. 10, déf. 2) entre X et Y
telle que
(i) Le graphe Γ est fonctionnel ;
(ii) Le domaine de définition de f est un ouvert U de X ;
(iii) L’application x → f (x) de U dans Y est propre.
L’application identique de X est une application partielle propre
de X dans X. Soient Z un espace topologique localement compact et
f (resp. g) une application partielle propre de X dans Y (resp. de Y
dans Z). Alors la correspondance composée g ◦ f (E, II, p. 11, déf. 6)
est une application partielle propre de X dans Z (TG, I, p. 72, prop. 3,
et p. 73, prop. 5).
Lemme 1. — Pour toute application partielle propre f de X dans Y, de
domaine de définition U, notons
f l’application de X dans Y définie
par
f (x) = f (x) si x ∈ U et
f (x) = ω Y si x /
∈ U ; elle est continue.
L’application f →
f est une bijection entre l’ensemble des applications partielles propres f de X dans Y et l’ensemble des applications
continues g de X dans Y telles que g(ω X ) = ω Y .
Soit f une application partielle propre de X dans Y et soit U son domaine. Démontrons que l’application
f est continue. Elle est continue
en tout point de U, car U est ouvert dans X . Démontrons qu’elle est
également continue en tout point x de X U ; on a alors
f (x) = ω Y .
Soit V un voisinage ouvert de ω Y dans Y ; démontrons que
f −1 (V)
est un voisinage de x. Par définition de l’espace topologique Y , on
o 3
APPLICATIONS PARTIELLES PROPRES
TS I.33
Corollaire 3. — Supposons X compact. Alors l’application x → ev x
est un homéomorphisme de X sur X(C (X)). La topologie faible et la
topologie de Jacobson coïncident sur X(C (X)).
3. Applications partielles propres
Dans ce numéro, X et Y sont des espaces topologiques localement
compacts. On note X (resp. Y ) l’espace compact obtenu à partir
de X (resp. Y) par adjonction d’un point à l’infini ω X (resp. ω Y ) (TG,
I, p. 67–68). On identifie X et Y à X (C 0 (X)) et X (C 0 (Y)), respectivement (corollaire 2 de I, p. 32).
Définition 1. — Une application partielle propre de X dans Y est
une correspondance f = (Γ, X, Y) (E, II, p. 10, déf. 2) entre X et Y
telle que
(i) Le graphe Γ est fonctionnel ;
(ii) Le domaine de définition de f est un ouvert U de X ;
(iii) L’application x → f (x) de U dans Y est propre.
L’application identique de X est une application partielle propre
de X dans X. Soient Z un espace topologique localement compact et
f (resp. g) une application partielle propre de X dans Y (resp. de Y
dans Z). Alors la correspondance composée g ◦ f (E, II, p. 11, déf. 6)
est une application partielle propre de X dans Z (TG, I, p. 72, prop. 3,
et p. 73, prop. 5).
Lemme 1. — Pour toute application partielle propre f de X dans Y, de
domaine de définition U, notons
f l’application de X dans Y définie
par
f (x) = f (x) si x ∈ U et
f (x) = ω Y si x /
∈ U ; elle est continue.
L’application f →
f est une bijection entre l’ensemble des applications partielles propres f de X dans Y et l’ensemble des applications
continues g de X dans Y telles que g(ω X ) = ω Y .
Soit f une application partielle propre de X dans Y et soit U son domaine. Démontrons que l’application
f est continue. Elle est continue
en tout point de U, car U est ouvert dans X . Démontrons qu’elle est
également continue en tout point x de X U ; on a alors
f (x) = ω Y .
Soit V un voisinage ouvert de ω Y dans Y ; démontrons que
f −1 (V)
est un voisinage de x. Par définition de l’espace topologique Y , on