TS I.32
ALGÈBRES DE BANACH COMMUTATIVES
§ 3
appartient à I. Pour x /
∈ C ε , on a
|f (x) − f ε (x)| 2ε,
et pour x ∈ C ε , on a
|f (x) − f ε (x)| =
|f (x)|
1 + g ε (x)
ε|f (x)|.
Ainsi f ε converge uniformément vers f sur X quand ε tend vers 0. On
a donc f ∈ I, d’où f ∈ I puisque I est fermé.
Corollaire 1. — Pour tout x ∈ X, soit I x l’ensemble des f ∈ C 0 (X)
nulles en x. Alors x → I x est une bijection de X sur l’ensemble des
idéaux fermés maximaux de C 0 (X). Ces idéaux sont réguliers.
Ceci résulte aussitôt de la prop. 1.
Notons X le compactifié d’Alexandroff de X, c’est-à-dire l’espace
compact déduit de X par adjonction d’un point à l’infini ω X (TG,
I, p. 67 et 68). L’algèbre C 0 (X) s’identifie à l’algèbre de Banach des
fonctions complexes continues sur X nulles en ω X .
Pour tout x ∈ X , on note ev x le caractère de C 0 (X) défini par
ev x (f ) = f (x) pour tout f ∈ C 0 (X).
Corollaire 2. — L’application x → ev x est un homéomorphisme de
X sur X (C 0 (X)), et sa restriction à X est un homémorphisme de X
sur X(C 0 (X)). De plus, la topologie faible et la topologie de Jacobson
coïncident sur X(C 0 (X)).
L’application ev : x → ev x de X dans X (C 0 (X)) est injective. Elle
est surjective d’après le cor. 1 et le th. 2 de I, p. 30. Elle est continue,
car pour toute fonction f ∈ C 0 (X) et tout ouvert U de R, on a
ev
−1 ({χ ∈ X
(C 0 (X)) | χ(f ) ∈ U}) =
−1
f (U)
qui est ouvert dans X. L’application ev est donc un homéomorphisme
puisque X est compact. La restriction de ev à X est alors un homéomorphisme sur X(C 0 (X)).
Si F est une partie faiblement fermée de X(C 0 (X)), elle correspond
par l’homéomorphisme ev à une partie fermée Φ de X ; précisément,
d’après la prop. 1, on a F = {χ ∈ X(C 0 (X)) | I Φ ⊂ Ker χ} qui est fermé
pour la topologie de Jacobson.
ALGÈBRES DE BANACH COMMUTATIVES
§ 3
appartient à I. Pour x /
∈ C ε , on a
|f (x) − f ε (x)| 2ε,
et pour x ∈ C ε , on a
|f (x) − f ε (x)| =
|f (x)|
1 + g ε (x)
ε|f (x)|.
Ainsi f ε converge uniformément vers f sur X quand ε tend vers 0. On
a donc f ∈ I, d’où f ∈ I puisque I est fermé.
Corollaire 1. — Pour tout x ∈ X, soit I x l’ensemble des f ∈ C 0 (X)
nulles en x. Alors x → I x est une bijection de X sur l’ensemble des
idéaux fermés maximaux de C 0 (X). Ces idéaux sont réguliers.
Ceci résulte aussitôt de la prop. 1.
Notons X le compactifié d’Alexandroff de X, c’est-à-dire l’espace
compact déduit de X par adjonction d’un point à l’infini ω X (TG,
I, p. 67 et 68). L’algèbre C 0 (X) s’identifie à l’algèbre de Banach des
fonctions complexes continues sur X nulles en ω X .
Pour tout x ∈ X , on note ev x le caractère de C 0 (X) défini par
ev x (f ) = f (x) pour tout f ∈ C 0 (X).
Corollaire 2. — L’application x → ev x est un homéomorphisme de
X sur X (C 0 (X)), et sa restriction à X est un homémorphisme de X
sur X(C 0 (X)). De plus, la topologie faible et la topologie de Jacobson
coïncident sur X(C 0 (X)).
L’application ev : x → ev x de X dans X (C 0 (X)) est injective. Elle
est surjective d’après le cor. 1 et le th. 2 de I, p. 30. Elle est continue,
car pour toute fonction f ∈ C 0 (X) et tout ouvert U de R, on a
ev
−1 ({χ ∈ X
(C 0 (X)) | χ(f ) ∈ U}) =
−1
f (U)
qui est ouvert dans X. L’application ev est donc un homéomorphisme
puisque X est compact. La restriction de ev à X est alors un homéomorphisme sur X(C 0 (X)).
Si F est une partie faiblement fermée de X(C 0 (X)), elle correspond
par l’homéomorphisme ev à une partie fermée Φ de X ; précisément,
d’après la prop. 1, on a F = {χ ∈ X(C 0 (X)) | I Φ ⊂ Ker χ} qui est fermé
pour la topologie de Jacobson.