N
o 2
FONCTIONS NULLES À L’INFINI
TS I.31
2. Fonctions continues nulles à l’infini sur un espace localement compact
Dans ce numéro, X est un espace localement compact. On note
C 0 (X) l’algèbre de Banach commutative des fonctions complexes continues tendant vers 0 à l’infini sur X, munie de la norme f = sup
x∈X
|f (x)|
(exemple 3 de I, p. 17).
Proposition 1. — Pour toute partie fermée Φ de X, soit I Φ l’ensemble des f ∈ C 0 (X) nulles sur Φ. Alors Φ → I Φ est une bijection de
l’ensemble des parties fermées de X sur l’ensemble des idéaux fermés
de C 0 (X).
L’ensemble I Φ est un idéal fermé de C 0 (X).
Soient Φ = Φ des parties fermées de X. Quitte à échanger Φ et Φ ,
on peut supposer qu’il existe x ∈ Φ tel que x ∈ Φ, et il existe alors
une fonction f ∈ C 0 (X) nulle sur Φ et non nulle en x (TG, IX, p. 43,
prop. 1). On a f ∈ I Φ et f ∈ I Φ , de sorte que l’application Φ → I Φ est
injective.
Soit I un idéal fermé de C 0 (X). Soit Φ l’ensemble des x ∈ X tels que
f (x) = 0 pour tout f ∈ I ; c’est une partie fermée de X, et on a I ⊂ I Φ .
Démontrons que I Φ ⊂ I, ce qui impliquera que I = I Φ et terminera la
preuve de la proposition.
Soit f ∈ I Φ . Pour tout nombre réel ε > 0, notons C ε l’ensemble des
x ∈ X tels que |f (x)| ε. Puisque f tend vers 0 à l’infini, l’ensemble C ε
est compact. Soit x ∈ C ε ; comme f (x) = 0 et f ∈ I Φ , on a x ∈ Φ ; par
définition de Φ, il existe alors une fonction ϕ x ∈ I telle que |ϕ x (x)| > 1,
donc telle que |ϕ x (y)| > 1 pour tout y appartenant à un voisinage V x
de x. Les ouverts V x ∩ C ε recouvrent C ε . Puisque l’ensemble C ε est
compact, il existe un sous-ensemble fini T ε ⊂ X tel que
C ε ⊂
x∈Tε
V x .
Alors l’élément
g ε =
1
ε
x∈Tε
ϕ x ϕ x 0
de C 0 (X) appartient à I, et on a g ε ε −1 sur C ε . La fonction
f ε =
f g ε
1 + g ε
o 2
FONCTIONS NULLES À L’INFINI
TS I.31
2. Fonctions continues nulles à l’infini sur un espace localement compact
Dans ce numéro, X est un espace localement compact. On note
C 0 (X) l’algèbre de Banach commutative des fonctions complexes continues tendant vers 0 à l’infini sur X, munie de la norme f = sup
x∈X
|f (x)|
(exemple 3 de I, p. 17).
Proposition 1. — Pour toute partie fermée Φ de X, soit I Φ l’ensemble des f ∈ C 0 (X) nulles sur Φ. Alors Φ → I Φ est une bijection de
l’ensemble des parties fermées de X sur l’ensemble des idéaux fermés
de C 0 (X).
L’ensemble I Φ est un idéal fermé de C 0 (X).
Soient Φ = Φ des parties fermées de X. Quitte à échanger Φ et Φ ,
on peut supposer qu’il existe x ∈ Φ tel que x ∈ Φ, et il existe alors
une fonction f ∈ C 0 (X) nulle sur Φ et non nulle en x (TG, IX, p. 43,
prop. 1). On a f ∈ I Φ et f ∈ I Φ , de sorte que l’application Φ → I Φ est
injective.
Soit I un idéal fermé de C 0 (X). Soit Φ l’ensemble des x ∈ X tels que
f (x) = 0 pour tout f ∈ I ; c’est une partie fermée de X, et on a I ⊂ I Φ .
Démontrons que I Φ ⊂ I, ce qui impliquera que I = I Φ et terminera la
preuve de la proposition.
Soit f ∈ I Φ . Pour tout nombre réel ε > 0, notons C ε l’ensemble des
x ∈ X tels que |f (x)| ε. Puisque f tend vers 0 à l’infini, l’ensemble C ε
est compact. Soit x ∈ C ε ; comme f (x) = 0 et f ∈ I Φ , on a x ∈ Φ ; par
définition de Φ, il existe alors une fonction ϕ x ∈ I telle que |ϕ x (x)| > 1,
donc telle que |ϕ x (y)| > 1 pour tout y appartenant à un voisinage V x
de x. Les ouverts V x ∩ C ε recouvrent C ε . Puisque l’ensemble C ε est
compact, il existe un sous-ensemble fini T ε ⊂ X tel que
C ε ⊂
x∈Tε
V x .
Alors l’élément
g ε =
1
ε
x∈Tε
ϕ x ϕ x 0
de C 0 (X) appartient à I, et on a g ε ε −1 sur C ε . La fonction
f ε =
f g ε
1 + g ε