TS I.30
ALGÈBRES DE BANACH COMMUTATIVES
§ 3
Soit A le dual de l’espace de Banach A. Sa boule unité A
1 est
faiblement compacte (EVT, III, p. 17, cor. 2). D’après le th. 1, on a
X (A) ⊂ A
1 . De plus, X (A) est fermé dans A pour la topologie faible,
car il est l’intersection des ensembles faiblement fermés
X x,y = {f ∈ A
| f (xy) − f (x)f (y) = 0} (pour x, y ∈ A).
Il en résulte que X (A) est compact et que X(A) = X (A) {0} est
localement compact.
Si A admet un élément unité 1, alors X(A) est l’ensemble des χ ∈
X (A) tels que χ(1) = 1, et est donc une partie fermée, et par suite
compacte, de X (A).
Tout espace compact est homéomorphe à X(A) pour une algèbre de
Banach unifère commutative A convenable (cf. I, p. 32, cor. 2).
Théorème 2. — Soit A une algèbre de Banach commutative. L’application χ → Ker(χ) est une bijection de X(A) sur l’ensemble J(A)
des idéaux maximaux réguliers de A.
Soit I un idéal maximal régulier de A. Il est fermé (I, p. 22, cor. 2),
donc A/I est une algèbre de Banach. Comme c’est un corps (A, VIII,
p. 426, prop. 2), le théorème de Gelfand–Mazur (I, p. 26, cor. 2),
implique que A/I est de dimension 1 sur C. Donc I est de codimension
1 dans A. Le théorème résulte alors du lemme 3 de I, p. 10.
Il peut arriver qu’une algèbre de Banach commutative non nulle A,
sans élément unité, n’ait aucun idéal maximal ; alors X
(A) est réduit
à {0} (cf. I, p. 186, exercice 31).
Ce théorème montre que les ensembles J(A) et
A de I, p. 11, qui
s’identifient puisque A est commutative, peuvent aussi s’identifier à
l’ensemble X(A). Il y a donc lieu de considérer sur X(A) la topologie
faible, et la topologie de Jacobson qui est moins fine (I, p. 15, prop. 5).
Les ensembles fermés V(M) de la topologie de Jacobson, pour M ⊂ A,
sont les ensembles
{χ ∈ X(A) | χ(M) = 0}
de X(A), qu’on notera parfois encore V(M). Similairement, pour toute
partie M de X(A), on notera Υ(M) l’idéal intersection des noyaux des
χ ∈ M ; il est égal à l’ensemble Υ(M ) défini dans I, p. 13 pour la partie
M ⊂ J(A) correspondant à M lorsqu’on identifie J(A) et X(A).
Quand on utilisera une notion topologique dans X(A) sans préciser
de quelle topologie il s’agit, il s’agira toujours de la topologie faible.
ALGÈBRES DE BANACH COMMUTATIVES
§ 3
Soit A le dual de l’espace de Banach A. Sa boule unité A
1 est
faiblement compacte (EVT, III, p. 17, cor. 2). D’après le th. 1, on a
X (A) ⊂ A
1 . De plus, X (A) est fermé dans A pour la topologie faible,
car il est l’intersection des ensembles faiblement fermés
X x,y = {f ∈ A
| f (xy) − f (x)f (y) = 0} (pour x, y ∈ A).
Il en résulte que X (A) est compact et que X(A) = X (A) {0} est
localement compact.
Si A admet un élément unité 1, alors X(A) est l’ensemble des χ ∈
X (A) tels que χ(1) = 1, et est donc une partie fermée, et par suite
compacte, de X (A).
Tout espace compact est homéomorphe à X(A) pour une algèbre de
Banach unifère commutative A convenable (cf. I, p. 32, cor. 2).
Théorème 2. — Soit A une algèbre de Banach commutative. L’application χ → Ker(χ) est une bijection de X(A) sur l’ensemble J(A)
des idéaux maximaux réguliers de A.
Soit I un idéal maximal régulier de A. Il est fermé (I, p. 22, cor. 2),
donc A/I est une algèbre de Banach. Comme c’est un corps (A, VIII,
p. 426, prop. 2), le théorème de Gelfand–Mazur (I, p. 26, cor. 2),
implique que A/I est de dimension 1 sur C. Donc I est de codimension
1 dans A. Le théorème résulte alors du lemme 3 de I, p. 10.
Il peut arriver qu’une algèbre de Banach commutative non nulle A,
sans élément unité, n’ait aucun idéal maximal ; alors X
(A) est réduit
à {0} (cf. I, p. 186, exercice 31).
Ce théorème montre que les ensembles J(A) et
A de I, p. 11, qui
s’identifient puisque A est commutative, peuvent aussi s’identifier à
l’ensemble X(A). Il y a donc lieu de considérer sur X(A) la topologie
faible, et la topologie de Jacobson qui est moins fine (I, p. 15, prop. 5).
Les ensembles fermés V(M) de la topologie de Jacobson, pour M ⊂ A,
sont les ensembles
{χ ∈ X(A) | χ(M) = 0}
de X(A), qu’on notera parfois encore V(M). Similairement, pour toute
partie M de X(A), on notera Υ(M) l’idéal intersection des noyaux des
χ ∈ M ; il est égal à l’ensemble Υ(M ) défini dans I, p. 13 pour la partie
M ⊂ J(A) correspondant à M lorsqu’on identifie J(A) et X(A).
Quand on utilisera une notion topologique dans X(A) sans préciser
de quelle topologie il s’agit, il s’agira toujours de la topologie faible.