N
o 1 CARACTÈRES D’UNE ALGÈBRE DE BANACH COMMUTATIVE TS I.29
de zéro topologique à gauche ou à droite dans B (prop. 4 de I, p. 24),
donc dans A. Ainsi, λ ∈ Sp A (x). Mais puisque Sp A (x) ⊂ Sp B (x), le
nombre complexe λ ∈ Fr C (Sp B (x)) ne peut être intérieur à Sp A (x),
donc appartient à sa frontière.
Corollaire. — L’ensemble Sp B (x) est la réunion de Sp A (x) et de
certaines composantes connexes bornées de C Sp A (x).
Cela découle de la prop. 6 et du lemme 3.
Ce corollaire sera complété par les propositions 13 de I, p. 46 et 14
de I, p. 46.
§ 3. ALGÈBRES DE BANACH COMMUTATIVES
Dans cette section, le corps de base est C.
1. Caractères d’une algèbre de Banach commutative
Théorème 1. — Soit A une algèbre de Banach et soit χ : A → C un
morphisme d’algèbres (cf. I, p. 9). Alors χ est continu, de norme au
plus 1. Si A est unifère et si χ est un morphisme unifère, alors χ est
de norme 1.
Démontrons que |χ(x)| x pour tout x ∈ A. Quitte à remplacer A par l’algèbre de Banach engendrée par x, on peut supposer
que A est commutative ; alors, χ ∈ X (A). Pour tout x ∈ A, on a
χ(x) ∈ Sp
A (x) (I, p. 9, n
o 7), donc |χ(x)| (x) x (I, p. 28,
cor. 5), d’où la première assertion.
Si, de plus, A est unifère, l’égalité χ(1) = 1 entraîne que χ 1,
d’où l’égalité voulue.
Remarque. — Soit A une algèbre de Banach commutative. Il découle
de ce théorème que la topologie de la convergence simple sur X (A)
coïncide avec la restriction à X (A) de la topologie faible σ(A , A) du
dual A de A.
Corollaire. — Soit A une algèbre de Banach commutative. L’espace X (A) est compact. L’espace X(A) est localement compact, et est
compact si A admet un élément unité.
o 1 CARACTÈRES D’UNE ALGÈBRE DE BANACH COMMUTATIVE TS I.29
de zéro topologique à gauche ou à droite dans B (prop. 4 de I, p. 24),
donc dans A. Ainsi, λ ∈ Sp A (x). Mais puisque Sp A (x) ⊂ Sp B (x), le
nombre complexe λ ∈ Fr C (Sp B (x)) ne peut être intérieur à Sp A (x),
donc appartient à sa frontière.
Corollaire. — L’ensemble Sp B (x) est la réunion de Sp A (x) et de
certaines composantes connexes bornées de C Sp A (x).
Cela découle de la prop. 6 et du lemme 3.
Ce corollaire sera complété par les propositions 13 de I, p. 46 et 14
de I, p. 46.
§ 3. ALGÈBRES DE BANACH COMMUTATIVES
Dans cette section, le corps de base est C.
1. Caractères d’une algèbre de Banach commutative
Théorème 1. — Soit A une algèbre de Banach et soit χ : A → C un
morphisme d’algèbres (cf. I, p. 9). Alors χ est continu, de norme au
plus 1. Si A est unifère et si χ est un morphisme unifère, alors χ est
de norme 1.
Démontrons que |χ(x)| x pour tout x ∈ A. Quitte à remplacer A par l’algèbre de Banach engendrée par x, on peut supposer
que A est commutative ; alors, χ ∈ X (A). Pour tout x ∈ A, on a
χ(x) ∈ Sp
A (x) (I, p. 9, n
o 7), donc |χ(x)| (x) x (I, p. 28,
cor. 5), d’où la première assertion.
Si, de plus, A est unifère, l’égalité χ(1) = 1 entraîne que χ 1,
d’où l’égalité voulue.
Remarque. — Soit A une algèbre de Banach commutative. Il découle
de ce théorème que la topologie de la convergence simple sur X (A)
coïncide avec la restriction à X (A) de la topologie faible σ(A , A) du
dual A de A.
Corollaire. — Soit A une algèbre de Banach commutative. L’espace X (A) est compact. L’espace X(A) est localement compact, et est
compact si A admet un élément unité.