TS I.28
ALGÈBRES NORMÉES
§ 2
Démontrons b). D’après a), le commutant de A dans End C (E) est
réduit aux homothéties de E. Son bicommutant est donc End C (E).
L’assertion b) résulte donc du théorème de densité de Jacobson (théorème 1 de A, VIII, p. 434).
Corollaire 5. — Soient A une algèbre de Banach et x ∈ A.
a) Sp
(x) est une partie compacte de C ;
b) Le rayon spectral (x) est le rayon du plus petit disque fermé de
centre 0 de C qui contient Sp
(x) ;
c) Pour que x soit quasi-nilpotent, il faut et il suffit que l’on ait
Sp
(x) = {0}.
Les assertions a) et b) résultent du th. 1 en considérant l’algèbre de
Banach déduite de A par adjonction d’un élément unité. L’assertion c)
résulte de b).
6. Spectre relatif à une sous-algèbre
Dans ce numéro, on suppose que K = C.
Lemme 3. — Soient X 1 et X 2 des sous-ensembles compacts de C. Si
X 2 est contenu dans X 1 et si la frontière de X 1 dans C est contenue
dans X 2 , alors X 1 est la réunion de X 2 et de certaines composantes
connexes bornées du complémentaire de X 2 dans C.
Soit U une composante connexe de C X 2 . Tout point frontière
de X 1 ∩ U dans l’ouvert U est aussi point frontière de X 1 dans C,
donc appartient à X 2 par hypothèse ; comme U ∩ X 2 = ∅, on voit
que X 1 ∩ U n’a aucun point frontière dans l’espace U. Comme U est
connexe, l’intersection X 1 ∩U est soit vide, soit égale à U (TG, I, p. 82,
cor.), et le lemme en résulte.
Proposition 6. — Soient A une algèbre de Banach unifère et B une
sous-algèbre unifère fermée de A. Pour tout x ∈ B, on a Sp B (x) ⊃
Sp A (x), et la frontière de Sp A (x) dans C contient la frontière de
Sp B (x) dans C. En particulier, si Sp B (x) ⊂ R, alors on a Sp B (x) =
Sp A (x).
On a Sp B (x) ⊃ Sp A (x) (remarque 6 de I, p. 3). Si λ est un point de la
frontière de Sp B (x) dans C, il existe une suite (λ n ) de points extérieurs
à Sp B (x) tendant vers λ. Alors x − λ n est inversible dans B et tend
vers x − λ, qui n’est pas inversible dans B ; donc x − λ est diviseur
ALGÈBRES NORMÉES
§ 2
Démontrons b). D’après a), le commutant de A dans End C (E) est
réduit aux homothéties de E. Son bicommutant est donc End C (E).
L’assertion b) résulte donc du théorème de densité de Jacobson (théorème 1 de A, VIII, p. 434).
Corollaire 5. — Soient A une algèbre de Banach et x ∈ A.
a) Sp
(x) est une partie compacte de C ;
b) Le rayon spectral (x) est le rayon du plus petit disque fermé de
centre 0 de C qui contient Sp
(x) ;
c) Pour que x soit quasi-nilpotent, il faut et il suffit que l’on ait
Sp
(x) = {0}.
Les assertions a) et b) résultent du th. 1 en considérant l’algèbre de
Banach déduite de A par adjonction d’un élément unité. L’assertion c)
résulte de b).
6. Spectre relatif à une sous-algèbre
Dans ce numéro, on suppose que K = C.
Lemme 3. — Soient X 1 et X 2 des sous-ensembles compacts de C. Si
X 2 est contenu dans X 1 et si la frontière de X 1 dans C est contenue
dans X 2 , alors X 1 est la réunion de X 2 et de certaines composantes
connexes bornées du complémentaire de X 2 dans C.
Soit U une composante connexe de C X 2 . Tout point frontière
de X 1 ∩ U dans l’ouvert U est aussi point frontière de X 1 dans C,
donc appartient à X 2 par hypothèse ; comme U ∩ X 2 = ∅, on voit
que X 1 ∩ U n’a aucun point frontière dans l’espace U. Comme U est
connexe, l’intersection X 1 ∩U est soit vide, soit égale à U (TG, I, p. 82,
cor.), et le lemme en résulte.
Proposition 6. — Soient A une algèbre de Banach unifère et B une
sous-algèbre unifère fermée de A. Pour tout x ∈ B, on a Sp B (x) ⊃
Sp A (x), et la frontière de Sp A (x) dans C contient la frontière de
Sp B (x) dans C. En particulier, si Sp B (x) ⊂ R, alors on a Sp B (x) =
Sp A (x).
On a Sp B (x) ⊃ Sp A (x) (remarque 6 de I, p. 3). Si λ est un point de la
frontière de Sp B (x) dans C, il existe une suite (λ n ) de points extérieurs
à Sp B (x) tendant vers λ. Alors x − λ n est inversible dans B et tend
vers x − λ, qui n’est pas inversible dans B ; donc x − λ est diviseur