N
o 5 SPECTRE D’UN ÉLÉMENT DANS UNE ALGÈBRE NORMÉE TS I.27
Corollaire 4. — Soient E un espace de Banach complexe, L (E)
l’algèbre de Banach des endomorphismes continus de E et A une sousalgèbre non nulle de L (E) telle que E soit un A-pseudomodule (A, II,
p. 176, Appendice) simple.
a) Soit u un endomorphisme de E, non nécessairement continu, qui
commute avec A. Alors u est une homothétie ;
b) Soit u un endomorphisme de E, non nécessairement continu.
Pour tout entier n 1 et pour tout (ξ 1 , . . . , ξ n ) ∈ E n , il existe v ∈ A
tel que
(v(ξ 1 ), . . . , v(ξ n )) = (u(ξ 1 ), . . . , u(ξ n )).
Montrons a). Soit
A l’algèbre obtenue à partie de A par adjonction
d’un élément unité. Puisque E est un A-pseudomodule simple, c’est un
A-module simple.
Soit B le commutant de
A dans l’anneau des endomorphismes du
C-espace vectoriel E. L’algèbre B contient 1 et est l’algèbre des endomorphismes du
A-module E. Comme E est un
A-module simple, le
lemme de Schur (A, VIII, p. 43, corollaire), montre que B est un corps.
Soit ξ 0 ∈ E tel que Aξ 0 = {0}. On a donc Aξ 0 = E. Pour tout u ∈ B,
soit A u l’ensemble des v ∈ A tels que v(ξ 0 ) = u(ξ 0 ). Cet ensemble est
non vide, puisque Aξ 0 = E. On pose alors
u B = inf
v∈Au
v.
L’application u → →u B est une seminorme sur B.
Montrons que cette application est une norme. Soit u un élément non
nul de B. Pour tout v ∈ A u , on a v v(ξ 0 )/ξ 0 = u(ξ 0 )/ξ 0 ,
de sorte que u B u(ξ 0 )/ξ 0 . Il suffit donc de démontrer que
u(ξ 0 ) = 0. Soit ξ 1 ∈ E tel que u(ξ 1 ) = 0. Comme Aξ 0 = E, il existe
w ∈ A tel que ξ 1 = w(ξ 0 ). Alors, wu(ξ 0 ) = uw(ξ 0 ) = u(ξ 1 ) = 0, donc
u(ξ 0 ) = 0.
D’autre part, soient u et u des éléments de B. Pour tout ε > 0, il
existe v, v ∈ A tels que v(ξ 0 ) = u(ξ 0 ), v (ξ 0 ) = u (ξ 0 ) et v u B +ε,
v u B + ε. Alors on a vv (ξ 0 ) = vu (ξ 0 ) = u v(ξ 0 ) = u u(ξ 0 ),
d’où
u
u B v
v vv
(u B + ε)(u
B + ε),
et finalement u u B u B u B . Cela montre que B, muni de la
norme u → →u B , est une algèbre normée. Comme c’est un corps, le
corollaire 2 implique que B = C · 1, ce qui est la conclusion désirée.
o 5 SPECTRE D’UN ÉLÉMENT DANS UNE ALGÈBRE NORMÉE TS I.27
Corollaire 4. — Soient E un espace de Banach complexe, L (E)
l’algèbre de Banach des endomorphismes continus de E et A une sousalgèbre non nulle de L (E) telle que E soit un A-pseudomodule (A, II,
p. 176, Appendice) simple.
a) Soit u un endomorphisme de E, non nécessairement continu, qui
commute avec A. Alors u est une homothétie ;
b) Soit u un endomorphisme de E, non nécessairement continu.
Pour tout entier n 1 et pour tout (ξ 1 , . . . , ξ n ) ∈ E n , il existe v ∈ A
tel que
(v(ξ 1 ), . . . , v(ξ n )) = (u(ξ 1 ), . . . , u(ξ n )).
Montrons a). Soit
A l’algèbre obtenue à partie de A par adjonction
d’un élément unité. Puisque E est un A-pseudomodule simple, c’est un
A-module simple.
Soit B le commutant de
A dans l’anneau des endomorphismes du
C-espace vectoriel E. L’algèbre B contient 1 et est l’algèbre des endomorphismes du
A-module E. Comme E est un
A-module simple, le
lemme de Schur (A, VIII, p. 43, corollaire), montre que B est un corps.
Soit ξ 0 ∈ E tel que Aξ 0 = {0}. On a donc Aξ 0 = E. Pour tout u ∈ B,
soit A u l’ensemble des v ∈ A tels que v(ξ 0 ) = u(ξ 0 ). Cet ensemble est
non vide, puisque Aξ 0 = E. On pose alors
u B = inf
v∈Au
v.
L’application u → →u B est une seminorme sur B.
Montrons que cette application est une norme. Soit u un élément non
nul de B. Pour tout v ∈ A u , on a v v(ξ 0 )/ξ 0 = u(ξ 0 )/ξ 0 ,
de sorte que u B u(ξ 0 )/ξ 0 . Il suffit donc de démontrer que
u(ξ 0 ) = 0. Soit ξ 1 ∈ E tel que u(ξ 1 ) = 0. Comme Aξ 0 = E, il existe
w ∈ A tel que ξ 1 = w(ξ 0 ). Alors, wu(ξ 0 ) = uw(ξ 0 ) = u(ξ 1 ) = 0, donc
u(ξ 0 ) = 0.
D’autre part, soient u et u des éléments de B. Pour tout ε > 0, il
existe v, v ∈ A tels que v(ξ 0 ) = u(ξ 0 ), v (ξ 0 ) = u (ξ 0 ) et v u B +ε,
v u B + ε. Alors on a vv (ξ 0 ) = vu (ξ 0 ) = u v(ξ 0 ) = u u(ξ 0 ),
d’où
u
u B v
v vv
(u B + ε)(u
B + ε),
et finalement u u B u B u B . Cela montre que B, muni de la
norme u → →u B , est une algèbre normée. Comme c’est un corps, le
corollaire 2 implique que B = C · 1, ce qui est la conclusion désirée.