TS I.26
ALGÈBRES NORMÉES
§ 2
est alors définie et holomorphe pour 0 < |λ| < a −1 et tend vers 0
quand λ tend vers 0. L’unique fonction continue sur le disque ouvert
de centre 0 et de rayon a −1 qui prolonge cette fonction holomorphe
est alors holomorphe (VAR, R1, 3.3.9), donc le rayon de convergence
de la série (5) qui la définit est a −1 (VAR, R1, 3.2.9). D’après la
prop. 2 de I, p. 22, on a donc a (x).
Remarques. — 1) Le spectre d’un élément dans une algèbre de Banach
unifère peut être une partie compacte non vide F quelconque de C (cf.
exemple 3 de I, p. 17 ; pour A = C (F; C) et f ∈ A l’inclusion canonique
de F dans C, on a Sp A (f ) = F).
2) Soit A une algèbre de Banach unifère et soit x ∈ A. D’après le
théorème 1 de I, p. 24, C Sp A (x) est une partie ouverte de C, donc
est localement connexe. Donc les composantes connexes de C Sp A (x)
sont ouvertes. D’après le th. 1, l’une de ces composantes connexes
contient l’ensemble des λ ∈ C tels que |λ| > >(x) ; toutes les autres
composantes connexes sont donc bornées.
Corollaire 1. — Soit A une algèbre normée unifère non nulle. Pour
tout x ∈ A, le spectre Sp A (x) est non vide.
Supposons d’abord A complète. Si l’on avait Sp(x) = ∅, la résolvante de x serait holomorphe dans C et nulle à l’infini, donc identiquement nulle (VAR, R., 3.3.6, p. 29). Comme R(x, λ) = (λ − x) −1 est
inversible, il en résulterait que 1 = 0 et donc que A = {0}.
Dans le cas général, soit
A l’algèbre compétée de A ; la relation
Sp A (x) = ∅ entraînerait Sp
A
(x) = ∅, d’où
A = {0} et A = {0}.
Corollaire 2 (Théorème de Gelfand-Mazur). — Soit A une algèbre
normée sur C. Si A est un corps, alors A = C · 1.
Si x ∈ A, il existe λ ∈ C tel que x − λ soit non inversible (cor. 1),
d’où x − λ = 0 et x ∈ C · 1.
Corollaire 3. — Soient A une algèbre de Banach unifère et x un
élément inversible de A tel que x = x −1 = 1. Alors Sp(x) ⊂ U.
Soit ∆ le disque de centre 0 et de rayon 1 dans C. D’après le th. 1 b)
et le fait que (x) x, on a Sp(x) ⊂ ∆. De même, Sp(x) −1 =
Sp(x −1 ) ⊂ ∆, d’où le corollaire (cf. I, p. 2, remarque 4).
ALGÈBRES NORMÉES
§ 2
est alors définie et holomorphe pour 0 < |λ| < a −1 et tend vers 0
quand λ tend vers 0. L’unique fonction continue sur le disque ouvert
de centre 0 et de rayon a −1 qui prolonge cette fonction holomorphe
est alors holomorphe (VAR, R1, 3.3.9), donc le rayon de convergence
de la série (5) qui la définit est a −1 (VAR, R1, 3.2.9). D’après la
prop. 2 de I, p. 22, on a donc a (x).
Remarques. — 1) Le spectre d’un élément dans une algèbre de Banach
unifère peut être une partie compacte non vide F quelconque de C (cf.
exemple 3 de I, p. 17 ; pour A = C (F; C) et f ∈ A l’inclusion canonique
de F dans C, on a Sp A (f ) = F).
2) Soit A une algèbre de Banach unifère et soit x ∈ A. D’après le
théorème 1 de I, p. 24, C Sp A (x) est une partie ouverte de C, donc
est localement connexe. Donc les composantes connexes de C Sp A (x)
sont ouvertes. D’après le th. 1, l’une de ces composantes connexes
contient l’ensemble des λ ∈ C tels que |λ| > >(x) ; toutes les autres
composantes connexes sont donc bornées.
Corollaire 1. — Soit A une algèbre normée unifère non nulle. Pour
tout x ∈ A, le spectre Sp A (x) est non vide.
Supposons d’abord A complète. Si l’on avait Sp(x) = ∅, la résolvante de x serait holomorphe dans C et nulle à l’infini, donc identiquement nulle (VAR, R., 3.3.6, p. 29). Comme R(x, λ) = (λ − x) −1 est
inversible, il en résulterait que 1 = 0 et donc que A = {0}.
Dans le cas général, soit
A l’algèbre compétée de A ; la relation
Sp A (x) = ∅ entraînerait Sp
A
(x) = ∅, d’où
A = {0} et A = {0}.
Corollaire 2 (Théorème de Gelfand-Mazur). — Soit A une algèbre
normée sur C. Si A est un corps, alors A = C · 1.
Si x ∈ A, il existe λ ∈ C tel que x − λ soit non inversible (cor. 1),
d’où x − λ = 0 et x ∈ C · 1.
Corollaire 3. — Soient A une algèbre de Banach unifère et x un
élément inversible de A tel que x = x −1 = 1. Alors Sp(x) ⊂ U.
Soit ∆ le disque de centre 0 et de rayon 1 dans C. D’après le th. 1 b)
et le fait que (x) x, on a Sp(x) ⊂ ∆. De même, Sp(x) −1 =
Sp(x −1 ) ⊂ ∆, d’où le corollaire (cf. I, p. 2, remarque 4).