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o 5 SPECTRE D’UN ÉLÉMENT DANS UNE ALGÈBRE NORMÉE TS I.25
formule
∂ k
∂λ k R(x, λ) = (−1)
k k! R(x, λ)
k+1 ;
d) Pour tout nombre complexe λ tel que |λ| > 1//(x), on a
R(x, λ) =
+∞
n=0
λ
−n−1 x
n .
Le complémentaire du spectre Sp A (x) est l’image réciproque du
groupe G des éléments inversibles de A par l’application continue λ →
x − λ de C dans A ; d’après la proposition 3, b) de I, p. 23, le spectre
Sp A (x) est une partie fermée de C. Par ailleurs, soit λ ∈ C tel que
|λ| > >(x). On a λ−x = λ(1−λ −1 x). Puisque (λ −1 x) = |λ| −1 (x) < 1,
l’élément 1 − λ −1 x, donc également l’élément λ − x, est inversible et
(5)
R(x, λ) = (λ − x)
−1 =
∞
n=0
λ
−n−1 x
n
(I, p. 22, prop. 2). En particulier, λ ∈ Sp A (x). Cela démontre que
Sp A (x) est contenu dans le disque de centre 0 et de rayon (x). Par
suite, Sp A (x) est compact. Cette formule (5) prouve aussi que la résolvante de x est définie et holomorphe dans le complémentaire du disque
fermé ∆ (x) de centre 0 et de rayon (x), et tend vers 0 à l’infini.
Soit λ 0 ∈ C Sp A (x). Posons y = λ 0 − x. Soit µ ∈ C tel que
|λ 0 − µ| < y −1 −1 . On a
µ − x = y − (λ 0 − µ) = y(1 − (λ 0 − µ)y
−1 ),
donc µ − x est inversible et a pour inverse
(6)
(µ − x)
−1 = y
−1
∞
n=0
(λ 0 − µ)
n y
−n
d’après la prop. 2 de I, p. 22. Donc la résolvante de x est définie et
holomorphe dans le disque ouvert de centre λ 0 et de rayon y −1 −1 . Par
suite, la résolvante de x est une application holomorphe de C Sp A (x)
dans A.
La formule (1) de I, p. 4 implique
∂
∂λ R(x, λ) = −R(x, λ) 2 , d’où, par
récurrence sur k,
∂ k
∂λ k R(x, λ) = (−1)
k k! R(x, λ)
k+1 .
Soit a > 0 un nombre réel tel que Sp A (x) soit contenu dans le disque
fermé ∆ a de centre 0 et de rayon a. La fonction λ → (λ −1 − x) −1