TS I.24
ALGÈBRES NORMÉES
§ 2
Un diviseur de zéro à gauche (resp. à droite) est un diviseur de zéro
topologique à gauche (resp. à droite). Supposons que A est non nulle
et unifère. Un diviseur de zéro topologique à gauche (resp. à droite) x
n’est pas inversible à gauche (resp. à droite). En effet, si par exemple
yx = 1 et si xz n tend vers 0, alors z n = y(xz n ) tend vers 0 et on ne
peut avoir z n = 1 pour tout n.
Proposition 4. — Soit A une algèbre de Banach unifère. Soit x un
élément de A qui n’est pas inversible à gauche. S’il existe une suite
(x n ) d’éléments inversibles à gauche de A qui converge vers x, alors x
est un diviseur de zéro topologique à droite.
Soit y n un inverse à gauche de x n . D’après la prop. 3 (ii), y n tend
vers +∞. Soit z n = y n −1 y n . On a z n = 1, et z n x n = y n −1 tend
vers 0, donc z n x = z n x n + z n (x − x n ) tend vers 0. On conclut alors à
l’aide de la remarque suivant la définition 4.
Proposition 5. — Soit A une algèbre de Banach unifère et soit B
une sous-algèbre pleine de A. Alors B est une sous-algèbre pleine de A.
En effet, soient x un élément de B inversible dans A, et (x n ) une
suite d’éléments de B tendant vers x. Alors, pour n assez grand, x n
est inversible dans A et x −1
n tend vers x −1 . Puisque la sous-algèbre B
est pleine, on a x −1
n ∈ B, d’où x −1 ∈ B.
Soit A est une algèbre de Banach unifère et soit (y i ) i∈I une famille
d’éléments de A. Soit B la sous-algèbre pleine de A engendrée par les
éléments y i . Alors B est la plus petite sous-algèbre pleine fermée de A
contenant les y i . On l’appelle la sous-algèbre pleine fermée engendrée
par les éléments y i .
5. Spectre d’un élément dans une algèbre normée
Dans ce numéro, on suppose que K = C.
Théorème 1. — Soient A une algèbre de Banach unifère et x ∈ A.
a) L’ensemble Sp A (x) est une partie compacte de C ;
b) Le rayon spectral (x) est le rayon du plus petit disque fermé de
centre 0 dans C qui contient Sp A (x) ;
c) La résolvante λ → R(x, λ) = (λ − x) −1 de x est holomorphe dans
C Sp A (x) et nulle à l’infini. De plus, pour tout entier k 0, on a la
ALGÈBRES NORMÉES
§ 2
Un diviseur de zéro à gauche (resp. à droite) est un diviseur de zéro
topologique à gauche (resp. à droite). Supposons que A est non nulle
et unifère. Un diviseur de zéro topologique à gauche (resp. à droite) x
n’est pas inversible à gauche (resp. à droite). En effet, si par exemple
yx = 1 et si xz n tend vers 0, alors z n = y(xz n ) tend vers 0 et on ne
peut avoir z n = 1 pour tout n.
Proposition 4. — Soit A une algèbre de Banach unifère. Soit x un
élément de A qui n’est pas inversible à gauche. S’il existe une suite
(x n ) d’éléments inversibles à gauche de A qui converge vers x, alors x
est un diviseur de zéro topologique à droite.
Soit y n un inverse à gauche de x n . D’après la prop. 3 (ii), y n tend
vers +∞. Soit z n = y n −1 y n . On a z n = 1, et z n x n = y n −1 tend
vers 0, donc z n x = z n x n + z n (x − x n ) tend vers 0. On conclut alors à
l’aide de la remarque suivant la définition 4.
Proposition 5. — Soit A une algèbre de Banach unifère et soit B
une sous-algèbre pleine de A. Alors B est une sous-algèbre pleine de A.
En effet, soient x un élément de B inversible dans A, et (x n ) une
suite d’éléments de B tendant vers x. Alors, pour n assez grand, x n
est inversible dans A et x −1
n tend vers x −1 . Puisque la sous-algèbre B
est pleine, on a x −1
n ∈ B, d’où x −1 ∈ B.
Soit A est une algèbre de Banach unifère et soit (y i ) i∈I une famille
d’éléments de A. Soit B la sous-algèbre pleine de A engendrée par les
éléments y i . Alors B est la plus petite sous-algèbre pleine fermée de A
contenant les y i . On l’appelle la sous-algèbre pleine fermée engendrée
par les éléments y i .
5. Spectre d’un élément dans une algèbre normée
Dans ce numéro, on suppose que K = C.
Théorème 1. — Soient A une algèbre de Banach unifère et x ∈ A.
a) L’ensemble Sp A (x) est une partie compacte de C ;
b) Le rayon spectral (x) est le rayon du plus petit disque fermé de
centre 0 dans C qui contient Sp A (x) ;
c) La résolvante λ → R(x, λ) = (λ − x) −1 de x est holomorphe dans
C Sp A (x) et nulle à l’infini. De plus, pour tout entier k 0, on a la