N
o 4
INVERSES
TS I.23
J =
A. Comme J est un idéal maximal, cela implique que J = J, et
par suite que I = J ∩ A = J ∩ A est fermé dans A.
Corollaire 3. — Le radical d’une algèbre de Banach est fermé.
En effet le radical est l’intersection des idéaux à gauche maximaux
réguliers (A, VIII, p. 430, déf. 3).
Proposition 3. — Soit A une algèbre de Banach unifère.
a) Si x ∈ A admet un inverse à gauche (resp. à droite) y, tout
élément x ∈ A tel que x − x < y −1 admet un inverse à gauche
(resp. à droite).
b) L’ensemble des éléments de A qui sont inversibles (resp. à
gauche, resp. à droite) est ouvert dans A.
c) Soit (x n ) une suite d’éléments de A admettant des inverses à
gauche (resp. à droite) y n , et convergeant vers un élément x ∈ A. Si la
suite (y n ) est bornée, alors x est inversible à gauche (resp. à droite).
Il suffit de traiter le cas des inverses à gauche ; celui des inverses à
droite en découle en considérant l’algèbre opposée.
Soient x, y, x ∈ A tels que yx = 1 et x − x < y −1 . On a
1 − yx
= yx − yx
y · ·x − x
< 1,
donc yx est inversible : il existe z ∈ A tel que z(yx ) = 1. Ainsi
l’élément x est inversible à gauche d’inverse zy. Cela démontre l’assertion a) et l’assertion b) en résulte immédiatement.
Soit (x n ) une suite d’éléments de A admettant des inverses à
gauche y n , qui converge vers un élément x ∈ A, et telle que la
suite (y n ) est bornée. Si M 1 est un nombre réel tel que y n M
pour tout n 1, alors on a x n − x < M −1 y n −1 pour n assez
grand, et donc x admet un inverse à gauche d’après a).
Définition 4. — Soit A une algèbre normée, soit x un élément de A.
Notons γ x et δ x les applications y → xy et y → yx de A dans A. On
dit que x est un diviseur de zéro topologique à gauche (resp. à droite)
si γ x (resp. δ x ) n’est pas un homéomorphisme de A sur γ x (A) (resp.
sur δ x (A)).
Remarque. — D’après TG, IX, p. 36, cor. 2, x est un diviseur de zéro
topologique à gauche (resp. à droite) si et seulement si il existe une
suite (z n ) dans A telle que z n = 1 et telle que xz n tende vers 0 (resp.
que z n x tende vers 0) quand n → +∞.
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INVERSES
TS I.23
J =
A. Comme J est un idéal maximal, cela implique que J = J, et
par suite que I = J ∩ A = J ∩ A est fermé dans A.
Corollaire 3. — Le radical d’une algèbre de Banach est fermé.
En effet le radical est l’intersection des idéaux à gauche maximaux
réguliers (A, VIII, p. 430, déf. 3).
Proposition 3. — Soit A une algèbre de Banach unifère.
a) Si x ∈ A admet un inverse à gauche (resp. à droite) y, tout
élément x ∈ A tel que x − x < y −1 admet un inverse à gauche
(resp. à droite).
b) L’ensemble des éléments de A qui sont inversibles (resp. à
gauche, resp. à droite) est ouvert dans A.
c) Soit (x n ) une suite d’éléments de A admettant des inverses à
gauche (resp. à droite) y n , et convergeant vers un élément x ∈ A. Si la
suite (y n ) est bornée, alors x est inversible à gauche (resp. à droite).
Il suffit de traiter le cas des inverses à gauche ; celui des inverses à
droite en découle en considérant l’algèbre opposée.
Soient x, y, x ∈ A tels que yx = 1 et x − x < y −1 . On a
1 − yx
= yx − yx
y · ·x − x
< 1,
donc yx est inversible : il existe z ∈ A tel que z(yx ) = 1. Ainsi
l’élément x est inversible à gauche d’inverse zy. Cela démontre l’assertion a) et l’assertion b) en résulte immédiatement.
Soit (x n ) une suite d’éléments de A admettant des inverses à
gauche y n , qui converge vers un élément x ∈ A, et telle que la
suite (y n ) est bornée. Si M 1 est un nombre réel tel que y n M
pour tout n 1, alors on a x n − x < M −1 y n −1 pour n assez
grand, et donc x admet un inverse à gauche d’après a).
Définition 4. — Soit A une algèbre normée, soit x un élément de A.
Notons γ x et δ x les applications y → xy et y → yx de A dans A. On
dit que x est un diviseur de zéro topologique à gauche (resp. à droite)
si γ x (resp. δ x ) n’est pas un homéomorphisme de A sur γ x (A) (resp.
sur δ x (A)).
Remarque. — D’après TG, IX, p. 36, cor. 2, x est un diviseur de zéro
topologique à gauche (resp. à droite) si et seulement si il existe une
suite (z n ) dans A telle que z n = 1 et telle que xz n tende vers 0 (resp.
que z n x tende vers 0) quand n → +∞.