TS I.22
ALGÈBRES NORMÉES
§ 2
4. Inverses
Soit A une algèbre de Banach unifère, dont on note 1 l’élément unité.
Rappelons (TG, IX, prop. 14, p. 40) que le groupe G des éléments
inversibles de A est une partie ouverte de A, que la topologie induite
sur G par celle de A est compatible avec la structure de groupe et que
le groupe topologique G est complet.
Proposition 2. — Soient A une algèbre de Banach et x un élément
de A. La série
∞
n=1
λ
n x
n , considérée comme série entière en λ, a pour
rayon de convergence (x) −1 . Si A est unifère et si (x) < 1, alors
1 − x est inversible et a pour inverse
∞
n=0
x
n .
La série
∞
n=1 λ n x n a pour rayon de convergence
(lim sup
n→+∞
x
n
1/n )
−1 = (x)
−1
(cf. VAR, R1, p. 23, 3.1.4). Supposons que A admette un élément
unité. Si (x) < 1, la série
∞
n=0
x
n est donc absolument convergente.
Comme
(1 − x)
k
n=0
x
n
=
k
n=0
x
n
(1 − x) = 1 − x
k+1
pour tout entier k 0, l’élément 1 − x est inversible et son inverse est
égal à
∞
n=0
x
n .
Corollaire 1. — Si A est une algèbre de Banach unifère, alors
le groupe des éléments inversibles de A contient la boule ouverte de
centre 1 et de rayon 1.
C’est immédiat puisque x < 1 implique (x) < 1.
Corollaire 2. — Soient A une algèbre de Banach et I un idéal à
gauche (resp. à droite) maximal régulier de A. Alors I est fermé.
Soit (
A, e) l’algèbre de Banach unifère déduite de A par adjonction
d’un élément unité. Il existe un idéal à gauche (resp. à droite) maximal J de
A tel que J ∩ A = I (A, VIII, p. 428, prop. 4). Alors J est
disjoint de la boule ouverte de centre e et de rayon 1 (cor. 1), et donc