N
o 3
RAYON SPECTRAL
TS I.21
n, m ∈ N d’après (1). Le lemme 2, appliqué à la suite a n = log(α n ),
montre l’existence de la limite (x) et la formule (x) = inf n>0 α
1/n
n .
Soit x → →x 1 une norme définissant la topologie de A. Il existe des
nombres réels a > 0 et b > 0 tels que
ax x 1 bx
pour tout x ∈ A (EVT, II, p. 7, cor. 2). Par conséquent,
a
1/n x
n
1/n x
n
1/n
1
b
1/n x
n
1/n ,
pour tout n 1, d’où en passant à la limite, ou en prenant la borne
inférieure, l’égalité
(x) = lim
n→+∞
x
n
1/n
1
= inf
n>0
x
n
1/n
1 .
Définition 2. — Pour tout élément x d’une algèbre normée A, le
nombre réel
(x) = lim
n→∞
x
n
1/n = inf
n>0
x
n
1/n
est appelé le rayon spectral de x.
Pour tout élément x de A, on a
(x) x
(3)
(x
n ) = (x)
n , pour tout entier n 1.
(4)
Définition 3. — Un élément x de A est quasi-nilpotent si (x) = 0.
Ceci revient à dire que, quel que soit λ ∈ K, les nombres (λx) n
sont bornés pour n 1 ; ou encore que, quel que soit λ ∈ K, la suite
(λx) n tend vers 0 quand n → +∞.
Remarque 1. — Soit A une algèbre normée. Si un élément x ∈ A vérifie
(x) = x, on a x n = x n pour tout n ∈ N, d’après (3) et (4).
Inversement, supposons que x 2 = x 2 pour tout x ∈ A. Alors
on a, pour tout entier n 0, l’égalité x 2 n = x 2 n , donc x =
x 2 n 2 −n ; quand n tend vers +∞, on obtient x = (x).
Remarque 2. — La fonction x → (x) sur A, étant l’enveloppe inférieure des fonctions continues x → →x n 1/n pour n 1, est semicontinue supérieurement (TG, IV, p. 31, cor.), mais en général elle
n’est pas continue. Il peut même arriver (cf. exerc. 12 de I, p. 157)
qu’une suite d’éléments nilpotents de A tende vers un élément qui
n’est pas quasi-nilpotent.
o 3
RAYON SPECTRAL
TS I.21
n, m ∈ N d’après (1). Le lemme 2, appliqué à la suite a n = log(α n ),
montre l’existence de la limite (x) et la formule (x) = inf n>0 α
1/n
n .
Soit x → →x 1 une norme définissant la topologie de A. Il existe des
nombres réels a > 0 et b > 0 tels que
ax x 1 bx
pour tout x ∈ A (EVT, II, p. 7, cor. 2). Par conséquent,
a
1/n x
n
1/n x
n
1/n
1
b
1/n x
n
1/n ,
pour tout n 1, d’où en passant à la limite, ou en prenant la borne
inférieure, l’égalité
(x) = lim
n→+∞
x
n
1/n
1
= inf
n>0
x
n
1/n
1 .
Définition 2. — Pour tout élément x d’une algèbre normée A, le
nombre réel
(x) = lim
n→∞
x
n
1/n = inf
n>0
x
n
1/n
est appelé le rayon spectral de x.
Pour tout élément x de A, on a
(x) x
(3)
(x
n ) = (x)
n , pour tout entier n 1.
(4)
Définition 3. — Un élément x de A est quasi-nilpotent si (x) = 0.
Ceci revient à dire que, quel que soit λ ∈ K, les nombres (λx) n
sont bornés pour n 1 ; ou encore que, quel que soit λ ∈ K, la suite
(λx) n tend vers 0 quand n → +∞.
Remarque 1. — Soit A une algèbre normée. Si un élément x ∈ A vérifie
(x) = x, on a x n = x n pour tout n ∈ N, d’après (3) et (4).
Inversement, supposons que x 2 = x 2 pour tout x ∈ A. Alors
on a, pour tout entier n 0, l’égalité x 2 n = x 2 n , donc x =
x 2 n 2 −n ; quand n tend vers +∞, on obtient x = (x).
Remarque 2. — La fonction x → (x) sur A, étant l’enveloppe inférieure des fonctions continues x → →x n 1/n pour n 1, est semicontinue supérieurement (TG, IV, p. 31, cor.), mais en général elle
n’est pas continue. Il peut même arriver (cf. exerc. 12 de I, p. 157)
qu’une suite d’éléments nilpotents de A tende vers un élément qui
n’est pas quasi-nilpotent.