TS I.20
ALGÈBRES NORMÉES
§ 2
9) Soit ∆ le disque des nombres complexes z vérifiant |z| 1. L’algèbre A des fonctions continues sur ∆ analytiques dans l’intérieur de ∆
(VAR, R1, p. 26, 3.2.1) est munie de la norme f = sup z∈∆ |f (z)|.
Alors A est une algèbre de Banach unifère commutative.
3. Rayon spectral
Lemme 2 (Lemme de Fekete). — Soit (a n ) n1 une suite de nombres
réels. Supposons que
a n+m a n + a m
pour tout n 1 et tout m 1. Alors la suite (a n /n) n1 converge et
vérifie
lim
n→+∞
a n
n
= inf
n1
a n
n
.
Posons a 0 = 0 ; l’inégalité a n+m a n + a m reste valide pour tout
n 0 et tout m 0. Fixons un entier m 1. Pour tout entier
n 1, soient q(n) et r(n) les entiers tels que n = q(n)m + r(n) et
0 r(n) < m (E, III, p. 39, th. 1). L’hypothèse implique alors
a n
n
a q(n)m
n
+
a r(n)
n
q(n)a m
n
+
a r(n)
n
q(n)
n
a m +
m
n
.
Faisant tendre n vers +∞, on en déduit que lim sup n (a n /n) a m /m
puisque q(n)/n → 1/m. Puisque cela vaut pour tout m 1, on a donc
lim sup
n→+∞
a n
n
inf
m1
a m
m
lim inf
n→+∞
a n
n
.
Ces inégalités démontrent la convergence de la suite (a n /n) n1 ainsi
que la formule lim a n /n = inf n1 a n /n.
Proposition 1. — Soit A une algèbre normée. Pour tout x ∈ A,
la suite (x n 1/n ) n1 est convergente et sa limite (x) est égale à
inf n1 x n 1/n . De plus, pour toute norme x → →x 1 définissant la
topologie de A, on a également
(x) = lim
n→+∞
x
n
1/n
1
= inf
n1
x
n
1/n
1 .
Si x est nilpotent, on a x n
1/n
1
= 0 pour tout entier n suffisamment
grand et toute norme x → →x 1 définissant la topologie de A.
Supposons maintenant que x n’est pas nilpotent, et posons α n =
x n . On a α n > 0 pour tout entier n 1, et α n+m α n α m pour tous
ALGÈBRES NORMÉES
§ 2
9) Soit ∆ le disque des nombres complexes z vérifiant |z| 1. L’algèbre A des fonctions continues sur ∆ analytiques dans l’intérieur de ∆
(VAR, R1, p. 26, 3.2.1) est munie de la norme f = sup z∈∆ |f (z)|.
Alors A est une algèbre de Banach unifère commutative.
3. Rayon spectral
Lemme 2 (Lemme de Fekete). — Soit (a n ) n1 une suite de nombres
réels. Supposons que
a n+m a n + a m
pour tout n 1 et tout m 1. Alors la suite (a n /n) n1 converge et
vérifie
lim
n→+∞
a n
n
= inf
n1
a n
n
.
Posons a 0 = 0 ; l’inégalité a n+m a n + a m reste valide pour tout
n 0 et tout m 0. Fixons un entier m 1. Pour tout entier
n 1, soient q(n) et r(n) les entiers tels que n = q(n)m + r(n) et
0 r(n) < m (E, III, p. 39, th. 1). L’hypothèse implique alors
a n
n
a q(n)m
n
+
a r(n)
n
q(n)a m
n
+
a r(n)
n
q(n)
n
a m +
m
n
.
Faisant tendre n vers +∞, on en déduit que lim sup n (a n /n) a m /m
puisque q(n)/n → 1/m. Puisque cela vaut pour tout m 1, on a donc
lim sup
n→+∞
a n
n
inf
m1
a m
m
lim inf
n→+∞
a n
n
.
Ces inégalités démontrent la convergence de la suite (a n /n) n1 ainsi
que la formule lim a n /n = inf n1 a n /n.
Proposition 1. — Soit A une algèbre normée. Pour tout x ∈ A,
la suite (x n 1/n ) n1 est convergente et sa limite (x) est égale à
inf n1 x n 1/n . De plus, pour toute norme x → →x 1 définissant la
topologie de A, on a également
(x) = lim
n→+∞
x
n
1/n
1
= inf
n1
x
n
1/n
1 .
Si x est nilpotent, on a x n
1/n
1
= 0 pour tout entier n suffisamment
grand et toute norme x → →x 1 définissant la topologie de A.
Supposons maintenant que x n’est pas nilpotent, et posons α n =
x n . On a α n > 0 pour tout entier n 1, et α n+m α n α m pour tous