N
o 2
EXEMPLES
TS I.19
6) Soit G un groupe localement compact. Notons e son élément
unité. Soit M 1 (G) l’espace de Banach des mesures complexes bornées sur G (INT, III, p. 57). Le produit de convolution (INT, VIII,
p. 120, déf. 1) munit M 1 (G) d’une structure d’algèbre de Banach complexe (INT, VIII, §3, n
o 1, prop. 2) admettant pour élément unité la
mesure ε e définie par la masse unité placée au point e. Si G est commutatif, cette algèbre de Banach est commutative. L’espace C (G) des
mesures à support compact est une sous-algèbre de M 1 (G) (loc. cit.).
7) Soit G un groupe localement compact muni d’une mesure de
Haar µ. Alors L 1
K (G, µ) est une algèbre de Banach pour le produit
de convolution (INT, VIII, prop. 12, p. 166). Si K = C, l’application
définie par f → f µ permet d’identifier L 1
C (G, µ) à une sous-algèbre
de l’algèbre de Banach M 1 (G).
Si G est commutatif, l’algèbre de Banach L 1
K (G, µ) est commutative.
8) Prenons G = Z et K = C dans l’exemple 7. Alors L 1
C (Z) est
l’algèbre de Banach commutative complexe des suites (x n ) n∈Z telles
que
n |x n | < +∞, le produit des éléments (x n ) et (y n ) étant (z n ), où
z n =
k∈Z
x k y n−k
et la norme (x n ) =
n |x n |. Cette algèbre admet pour élément unité
la suite ε = (ε n ) telle que ε 0 = 1 et ε n = 0 pour n = 0.
Notons U le cercle unité dans C. Si x = (c n ) est un élément de A,
soit ϕ(x) la fonction continue sur U dont la valeur en e it est
ϕ(x)(e
it ) =
n∈Z
c n e
int .
On vérifie que ϕ est un morphisme de L 1
C (Z) sur une algèbre A de fonctions continues sur U, la multiplication dans A étant la multiplication
usuelle. En intégrant terme à terme l’égalité
m∈Z
c m e
imt
· e
−int = ϕ(x)(e
it ) · e
−int ,
il vient
c n =
1
2π
1
0
ϕ(x)(e
it )e
−int dt.
En particulier, il en découle que le morphisme ϕ est injectif. L’algèbre A, munie de la norme déduite de celle de L 1
C (Z) par ϕ, s’appelle
l’algèbre de Banach des séries de Fourier absolument convergentes.
Elle admet pour élément unité la fonction 1 = ϕ(ε).