TS I.18
ALGÈBRES NORMÉES
§ 2
L’inverse d’une fonction continue partout non nulle étant continue,
la sous-algèbre C b (X; K) est une sous-algèbre pleine de B(X; K). En
particulier, le spectre d’un élément f de C b (X; K) est égal à f (X).
Si X est discret, on a C b (X; K) = B(X; K).
Si X est compact, on C b (X; K) = K (X; K) = C (X; K), l’algèbre
unifère normée C (X; K) des fonctions continues sur X à valeurs dans K.
Dans ce cas, un élément f ∈ C (X; K) est inversible si et seulement si f
ne prend pas la valeur 0, et le spectre de f est égal à l’ensemble f (X)
des valeurs de f .
Supposons désormais que X n’est pas compact. L’algèbre C 0 (X; K)
n’est alors pas unifère ; l’algèbre qui s’en déduit par adjonction d’un
élément unité s’identifie à la sous-algèbre K · 1 ⊕ C 0 (X; K) de C (X; K)
formée des fonctions qui ont une limite à l’infini. Pour qu’un élément
de cette sous-algèbre soit inversible, il faut et il suffit qu’elle ne s’annule
pas et que sa limite à l’infini ne soit pas nulle. Il en résulte que pour
tout f ∈ C 0 (X; K), le spectre de f est égal à f (X) ∪ {0}.
Le spectre de f ∈ K (X; K) est égal à f (X) (en effet, si X n’est pas
compact, 0 appartient à f (X)).
4) Soit n 0 un entier. Soit A n l’algèbre des fonctions f : [0, 1] → K
admettant des dérivées continues dans [0, 1] jusqu’à l’ordre n, munie
de la norme
f =
n
k=0
1
k!
sup
0t1
|f
(k) (t)|.
Si f, g ∈ A n , on a
f g =
n
k=0
1
k!
sup|(f g)
(k) (t)| =
n
k=0
1
k!
sup
k
s=0
k
s
f
(s) (t)g
(k−s) (t)
n
k=0
k
s=0
1
s!(k − s)!
sup
0t1
|f
(s) (t)| sup
0t1
|g
(k−s) (t)| = f
d’après la formule de Leibniz (FVR, I, p. 28, prop. 2), donc A n est une
algèbre de Banach unifère commutative.
5) Soit E un espace de Banach dont on note p la norme. L’algèbre
L (E) des endomorphismes continus de E, munie de la norme
u = sup
p(x)1
p(u(x))
est une algèbre de Banach unifère (EVT, III, p. 14 et p. 24, cor. 2 ;
TG, X, p. 23, formule (3)).