N
o 2
EXEMPLES
TS I.17
Si l’algèbre normée unifère A est non nulle, c’est-à-dire si e = 0, on
a aussi γ e = δ e = 1.
Il est immédiat que γ x x et que δ x x.
Si A possède un élément unité e, alors on a x = γ x e = δ x e, donc :
(2)
x γ x · ·e
δ x · ·e.
Dans ce cas, x → →γ x et x → →δ x sont donc des normes équivalentes
à la norme de A. Elles vérifient (1) car γ et δ sont des représentations.
La dernière assertion provient du fait que γ e = δ e = Id A .
2. Exemples
1) Soit E un espace normé. Munissons E du produit défini par ab = 0
pour tous a et b dans E ; cela définit sur E une structure d’algèbre
normée.
2) Soit X un ensemble. On note B(X; K) l’algèbre normée des fonctions bornées sur X à valeurs dans K, munie de la norme
f = sup
x∈X
|f (x)|
(TG, X, p. 22). C’est une algèbre de Banach unifère sur K (TG, X,
p. 21, cor. 1). Elle est commutative. Soit f un élément de B(X; K).
Alors f est inversible dans B(X; K) si et seulement si on a
inf
x∈X
|f (x)| > 0.
Le spectre de f est donc l’ensemble des λ ∈ K tels que
inf
x∈X
|f (x) − λ| = 0,
c’est-à-dire l’adhérence dans K de l’ensemble f (X) des valeurs de f .
3) Soit X un espace topologique. On note C b (X; K) la sous-algèbre
unifère de B(X; K) des fonctions continues et bornées sur X à valeurs
dans K, C 0 (X; K) la sous-algèbre de C b (X; K) constituée des fonctions
qui tendent vers 0 à l’infini (cf. INT, III, §1, n
o 2 et TG, X, p. 40,
cor. 2). On rappelle que K (X; K) désigne la sous-algèbre de C b (X; K)
des fonctions continues à support compact.
Les algèbres C b (X; K) et C 0 (X; K) sont des algèbres de Banach commutatives sur K ; en effet, ce sont des sous-espaces fermés de B(X; K)
(TG, X, p. 21, cor. 2 et INT, III, §1, n
o 2).
o 2
EXEMPLES
TS I.17
Si l’algèbre normée unifère A est non nulle, c’est-à-dire si e = 0, on
a aussi γ e = δ e = 1.
Il est immédiat que γ x x et que δ x x.
Si A possède un élément unité e, alors on a x = γ x e = δ x e, donc :
(2)
x γ x · ·e
δ x · ·e.
Dans ce cas, x → →γ x et x → →δ x sont donc des normes équivalentes
à la norme de A. Elles vérifient (1) car γ et δ sont des représentations.
La dernière assertion provient du fait que γ e = δ e = Id A .
2. Exemples
1) Soit E un espace normé. Munissons E du produit défini par ab = 0
pour tous a et b dans E ; cela définit sur E une structure d’algèbre
normée.
2) Soit X un ensemble. On note B(X; K) l’algèbre normée des fonctions bornées sur X à valeurs dans K, munie de la norme
f = sup
x∈X
|f (x)|
(TG, X, p. 22). C’est une algèbre de Banach unifère sur K (TG, X,
p. 21, cor. 1). Elle est commutative. Soit f un élément de B(X; K).
Alors f est inversible dans B(X; K) si et seulement si on a
inf
x∈X
|f (x)| > 0.
Le spectre de f est donc l’ensemble des λ ∈ K tels que
inf
x∈X
|f (x) − λ| = 0,
c’est-à-dire l’adhérence dans K de l’ensemble f (X) des valeurs de f .
3) Soit X un espace topologique. On note C b (X; K) la sous-algèbre
unifère de B(X; K) des fonctions continues et bornées sur X à valeurs
dans K, C 0 (X; K) la sous-algèbre de C b (X; K) constituée des fonctions
qui tendent vers 0 à l’infini (cf. INT, III, §1, n
o 2 et TG, X, p. 40,
cor. 2). On rappelle que K (X; K) désigne la sous-algèbre de C b (X; K)
des fonctions continues à support compact.
Les algèbres C b (X; K) et C 0 (X; K) sont des algèbres de Banach commutatives sur K ; en effet, ce sont des sous-espaces fermés de B(X; K)
(TG, X, p. 21, cor. 2 et INT, III, §1, n
o 2).