TS I.16
ALGÈBRES NORMÉES
§ 2
(3) Soient (A i ) ∈I une famille d’algèbres normées et B l’algèbre produit des algèbres A i . La sous-algèbre des éléments (x i ) i∈I de B tels
que (x i ) = sup i∈I x i < +∞, est une algèbre normée, dite algèbre
normée produit des algèbres (A i ) i∈I . Si A i est une algèbre de Banach
pour tout i, alors A est une algèbre de Banach.
Soit A une algèbre normée. Soit (y i ) i∈I une famille d’éléments de A ;
la plus petite sous-algèbre fermée B de A contenant les éléments y i
s’appelle la sous-algèbre fermée de A engendrée par les y i ; si B = A,
on dit que les y i engendrent topologiquement l’algèbre normée A, ou
que la famille (y i ) i∈I est un système générateur topologique de l’algèbre
normée A.
Similairement, si A est une algèbre normée unifère, la plus petite
sous-algèbre unifère fermée contenant les éléments y i s’appelle la sousalgèbre unifère fermée de A engendrée par les y i . Si elle est égale à A, on
dit que les y i engendrent topologiquement l’algèbre normée unifère A.
Soit A une K-algèbre normée. Notons
A l’algèbre obtenue à partir
de A par adjonction d’un élément unité. Sur
A, on définit une norme
en posant (λ, x) = |λ| + x pour tout λ ∈ K et tout x ∈ A. On a
(λ, x)(µ, y) = |λµ| + xy + µx + λy
|λ| |µ| + x + |µ| |x + |λ| |y
= (λ, x) y).
Donc
A devient une algèbre normée, appelée algèbre unifère normée
déduite de A par adjonction d’un élément unité. L’algèbre A s’identifie
à l’idéal bilatère fermé {0} × A de
A.
Définition 1. — Soit A une algèbre normée. Pour a ∈ A, notons γ a
et δ a les applications x → ax, et x → xa de A dans A. L’application
γ : a → γ a est une représentation de A dans A, dite représentation
régulière gauche de A. L’application δ : a → δ a est une représentation
de l’algèbre opposée de A dans A, dite représentation régulière droite
de A.
Lemme 1. — Soit A une algèbre normée. La représentation régulière
gauche de A et la représentation régulière droite de A sont continues
de norme 1.
Si l’algèbre A est unifère, les applications x → →γ x et x → →δ x
sont des normes sur A, définissant la topologie de A. Elles vérifient
l’inégalité (1).
ALGÈBRES NORMÉES
§ 2
(3) Soient (A i ) ∈I une famille d’algèbres normées et B l’algèbre produit des algèbres A i . La sous-algèbre des éléments (x i ) i∈I de B tels
que (x i ) = sup i∈I x i < +∞, est une algèbre normée, dite algèbre
normée produit des algèbres (A i ) i∈I . Si A i est une algèbre de Banach
pour tout i, alors A est une algèbre de Banach.
Soit A une algèbre normée. Soit (y i ) i∈I une famille d’éléments de A ;
la plus petite sous-algèbre fermée B de A contenant les éléments y i
s’appelle la sous-algèbre fermée de A engendrée par les y i ; si B = A,
on dit que les y i engendrent topologiquement l’algèbre normée A, ou
que la famille (y i ) i∈I est un système générateur topologique de l’algèbre
normée A.
Similairement, si A est une algèbre normée unifère, la plus petite
sous-algèbre unifère fermée contenant les éléments y i s’appelle la sousalgèbre unifère fermée de A engendrée par les y i . Si elle est égale à A, on
dit que les y i engendrent topologiquement l’algèbre normée unifère A.
Soit A une K-algèbre normée. Notons
A l’algèbre obtenue à partir
de A par adjonction d’un élément unité. Sur
A, on définit une norme
en posant (λ, x) = |λ| + x pour tout λ ∈ K et tout x ∈ A. On a
(λ, x)(µ, y) = |λµ| + xy + µx + λy
|λ| |µ| + x + |µ| |x + |λ| |y
= (λ, x) y).
Donc
A devient une algèbre normée, appelée algèbre unifère normée
déduite de A par adjonction d’un élément unité. L’algèbre A s’identifie
à l’idéal bilatère fermé {0} × A de
A.
Définition 1. — Soit A une algèbre normée. Pour a ∈ A, notons γ a
et δ a les applications x → ax, et x → xa de A dans A. L’application
γ : a → γ a est une représentation de A dans A, dite représentation
régulière gauche de A. L’application δ : a → δ a est une représentation
de l’algèbre opposée de A dans A, dite représentation régulière droite
de A.
Lemme 1. — Soit A une algèbre normée. La représentation régulière
gauche de A et la représentation régulière droite de A sont continues
de norme 1.
Si l’algèbre A est unifère, les applications x → →γ x et x → →δ x
sont des normes sur A, définissant la topologie de A. Elles vérifient
l’inégalité (1).