N
o 1
GÉNÉRALITÉS
TS I.15
Proposition 5. — La topologie induite sur X(A) par celle de
A est
moins fine que la topologie de X(A).
En effet, soit T une partie fermée de
A. Alors T est l’ensemble des
π ∈
A dont le noyau contient une partie M de A. Donc T ∩ X(A) est
l’ensemble des χ ∈ X(A) qui s’annulent sur M, c’est-à-dire une partie
fermée de X(A). D’où la proposition.
En général, la topologie de X(A) ne coïncide pas avec la topologie
induite par la topologie de
A (cf. I, p. 193, exercice 6, c)).
§ 2. ALGÈBRES NORMÉES
Dans cette section, K désigne l’un des corps R ou C.
1. Généralités
Rappelons (cf. TG, IX, p. 37, déf. 9) que l’on appelle algèbre normée
une algèbre A sur K munie d’une norme x → →x telle que :
(1)
xy x
quels que soient x, y ∈ A. Si A est complète, on dit que A est une
algèbre de Banach.
Soit A une algèbre normable complète sur K. La topologie de A peut
être définie par une norme vérifiant (1) (cf. TG, IX, p. 38). Lorsque A
est munie de la structure d’algèbre normée définie par une telle norme,
on dira aussi que l’algèbre A est une algèbre de Banach.
Rappelons également les faits suivants (cf. TG, IX, p. 38–39) :
(1) Si A est une algèbre normée non nulle et possède un élément
unité e, alors e 1.
(2) Soit A une K-algèbre normée. L’algèbre opposée à A, munie de la
même norme, est une algèbre normée. L’algèbre complétée de A, munie
de la norme obtenue par prolongement par continuité de la norme de A,
est une K-algèbre de Banach. Toute sous-algèbre de A, munie de la
norme induite, est une algèbre normée. Si I est un idéal bilatère fermé
de A, l’algèbre A/I, munie de la norme définie par ˙
x = inf x∈ ˙
x x
pour tout ˙
x ∈ A/I, est une algèbre normée.
o 1
GÉNÉRALITÉS
TS I.15
Proposition 5. — La topologie induite sur X(A) par celle de
A est
moins fine que la topologie de X(A).
En effet, soit T une partie fermée de
A. Alors T est l’ensemble des
π ∈
A dont le noyau contient une partie M de A. Donc T ∩ X(A) est
l’ensemble des χ ∈ X(A) qui s’annulent sur M, c’est-à-dire une partie
fermée de X(A). D’où la proposition.
En général, la topologie de X(A) ne coïncide pas avec la topologie
induite par la topologie de
A (cf. I, p. 193, exercice 6, c)).
§ 2. ALGÈBRES NORMÉES
Dans cette section, K désigne l’un des corps R ou C.
1. Généralités
Rappelons (cf. TG, IX, p. 37, déf. 9) que l’on appelle algèbre normée
une algèbre A sur K munie d’une norme x → →x telle que :
(1)
xy x
quels que soient x, y ∈ A. Si A est complète, on dit que A est une
algèbre de Banach.
Soit A une algèbre normable complète sur K. La topologie de A peut
être définie par une norme vérifiant (1) (cf. TG, IX, p. 38). Lorsque A
est munie de la structure d’algèbre normée définie par une telle norme,
on dira aussi que l’algèbre A est une algèbre de Banach.
Rappelons également les faits suivants (cf. TG, IX, p. 38–39) :
(1) Si A est une algèbre normée non nulle et possède un élément
unité e, alors e 1.
(2) Soit A une K-algèbre normée. L’algèbre opposée à A, munie de la
même norme, est une algèbre normée. L’algèbre complétée de A, munie
de la norme obtenue par prolongement par continuité de la norme de A,
est une K-algèbre de Banach. Toute sous-algèbre de A, munie de la
norme induite, est une algèbre normée. Si I est un idéal bilatère fermé
de A, l’algèbre A/I, munie de la norme définie par ˙
x = inf x∈ ˙
x x
pour tout ˙
x ∈ A/I, est une algèbre normée.