TS I.14
SPECTRES ET CARACTÈRES
§ 1
de E. Puisque π(A)ξ = E (lemme 4), la dimension de E est c (A, II,
p. 97, corollaire). La relation
« λ est une classe de représentations irréductibles de A
dans un K-espace vectoriel de dimension c »
est collectivisante en λ (E, II, p. 3). En effet, tout espace vectoriel de
dimension c est isomorphe à un espace K B où B est une partie de A
(A, II, p. 25, déf. 10), et l’assertion résulte alors de E, II, p. 47.
On note
A l’ensemble des classes de représentations irréductibles,
non triviales, de A. D’après ce qui précède, pour toute représentation
irréductible non triviale π de A, il existe une unique représentation
π ∈
A qui est isomorphe à π.
L’application de
A dans J(A) qui associe à π son noyau est surjective. Si A est commutative, il résulte du fait que les idéaux primitifs
sont les idéaux maximaux réguliers que cette application est une bijection.
On munit
A de la topologie image réciproque de celle de J(A) par
l’application
A → J(A).
Proposition 4. — Si A possède un élément unité, les espaces J(A)
et
A sont quasi-compacts.
Il suffit de faire la démonstration pour J(A). Soit (T j ) une famille
de parties fermées de J(A) dont l”intersection est vide. Si la somme
j Υ(T j ) était différente de A, alors cette somme serait contenue dans
un idéal bilatère maximal I. L’idéal I serait primitif (lemme 7) ; comme
la partie T j est fermée, donc égale à V(Υ(T j )), on aurait I ∈ T j pour
tout j, ce qui contredit l’hypothèse. Ainsi on a
j Υ(T j ) = A, et donc
on peut écrire 1 = x 1 + · · · + x n avec n 1 et x i ∈ Υ(T j i ) pour tout i.
Ceci entraîne que Υ(T j 1 )+· · ·+Υ(T jn ) = A, d’où T j 1 ∩ · · · ∩ T jn = ∅.
Supposons l’algèbre A commutative et unifère. La topologie de Jacobson sur J(A) est la topologie induite sur J(A) par la topologie de
Zariski du spectre premier de A (AC, II, déf. 4, p. 125).
Supposons que A est commutative et que K est un corps topologique. L’isomorphisme canonique de K sur L (K) permet d’identifier
un élément de X(A) à une représentation de A dans l’espace vectoriel K, ce qui définit une application injective de X(A) dans
A. On
peut donc identifier X(A) à une partie de
A.
SPECTRES ET CARACTÈRES
§ 1
de E. Puisque π(A)ξ = E (lemme 4), la dimension de E est c (A, II,
p. 97, corollaire). La relation
« λ est une classe de représentations irréductibles de A
dans un K-espace vectoriel de dimension c »
est collectivisante en λ (E, II, p. 3). En effet, tout espace vectoriel de
dimension c est isomorphe à un espace K B où B est une partie de A
(A, II, p. 25, déf. 10), et l’assertion résulte alors de E, II, p. 47.
On note
A l’ensemble des classes de représentations irréductibles,
non triviales, de A. D’après ce qui précède, pour toute représentation
irréductible non triviale π de A, il existe une unique représentation
π ∈
A qui est isomorphe à π.
L’application de
A dans J(A) qui associe à π son noyau est surjective. Si A est commutative, il résulte du fait que les idéaux primitifs
sont les idéaux maximaux réguliers que cette application est une bijection.
On munit
A de la topologie image réciproque de celle de J(A) par
l’application
A → J(A).
Proposition 4. — Si A possède un élément unité, les espaces J(A)
et
A sont quasi-compacts.
Il suffit de faire la démonstration pour J(A). Soit (T j ) une famille
de parties fermées de J(A) dont l”intersection est vide. Si la somme
j Υ(T j ) était différente de A, alors cette somme serait contenue dans
un idéal bilatère maximal I. L’idéal I serait primitif (lemme 7) ; comme
la partie T j est fermée, donc égale à V(Υ(T j )), on aurait I ∈ T j pour
tout j, ce qui contredit l’hypothèse. Ainsi on a
j Υ(T j ) = A, et donc
on peut écrire 1 = x 1 + · · · + x n avec n 1 et x i ∈ Υ(T j i ) pour tout i.
Ceci entraîne que Υ(T j 1 )+· · ·+Υ(T jn ) = A, d’où T j 1 ∩ · · · ∩ T jn = ∅.
Supposons l’algèbre A commutative et unifère. La topologie de Jacobson sur J(A) est la topologie induite sur J(A) par la topologie de
Zariski du spectre premier de A (AC, II, déf. 4, p. 125).
Supposons que A est commutative et que K est un corps topologique. L’isomorphisme canonique de K sur L (K) permet d’identifier
un élément de X(A) à une représentation de A dans l’espace vectoriel K, ce qui définit une application injective de X(A) dans
A. On
peut donc identifier X(A) à une partie de
A.