N
o 8
IDÉAUX PRIMITIFS
TS I.13
L’application M → V(M) est décroissante pour les relations d’inclusion. On a :
V(∅) = J(A),
V(A) = ∅
(5)
V
i∈I
M i
= V
i∈I
M i
=
i∈I
V(M i )
(6)
pour toute famille (M i ) i∈I de parties de A. D’autre part, d’après le
lemme 6,
(7)
V(I 1 ∩ I 2 ) = V(I 1 I 2 ) = V(I 1 ) ∪ V(I 2 )
pour tous idéaux bilatères I 1 , I 2 de A. Les formules (5) à (7) démontrent
que les parties V(M) de J(A) sont les parties fermées d’une topologie
appellée la topologie de Jacobson sur J(A).
Soit T une partie de J(A) et soit Υ(T) l’intersection des éléments
de T, de sorte que Υ(T) est un idéal bilatère de A. Alors l’adhérence
de T dans J(A) est la plus petite partie fermée de J(A) contenant T,
c’est-à-dire V(Υ(T)). En particulier, T est fermée si et seulement si
T = V(Υ(T)).
Proposition 2. — Soient I 1 et I 2 des points distincts de J(A). Alors
l’un de ces deux points est non adhérent à l’autre.
En effet, on a par exemple I 1 ⊂ I 2 . L’ensemble V(I 1 ) des I ∈ J(A)
tels que I 1 ⊂ I est fermé dans J(A), et il contient I 1 mais pas I 2 .
Proposition 3. — Soit I ∈ J(A). Pour que {I} soit fermé dans J(A),
il faut et il suffit que I soit un idéal primitif maximal.
En effet, l’adhérence de {I} se compose des idéaux primitifs de A
contenant I.
La relation
« π 1 , π 2 sont des représentations de A, qui sont isomorphes »
est une relation d’équivalence par rapport à π 1 et π 2 . Pour toute représentation π de A, on notera cl(π) la classe d’équivalence de π, qui
est donc une représentation de A isomorphe à π, telle que deux représentations π 1 et π 2 sont isomorphes si et seulement si cl(π 1 ) = cl(π 2 ).
On dit que cl(π) est la classe de π.
Soit c le cardinal de A. Soit π une représentation irréductible non
nulle de A dans un K-espace vectoriel E. Soit ξ un élément non nul