TS I.12
SPECTRES ET CARACTÈRES
§ 1
non triviales de A sont, à une équivalence près, les représentations
π R définies par les A-pseudomodules A/R, où R est un idéal maximal
régulier de A. Le noyau de π R contient R. Il lui est même égal puisque,
d’après A, VIII, p. 426, prop. 2, la commutativité de A entraîne que
A/R est un corps. Donc Ker(π R ) est maximal régulier.
Lemme 5. — Soit π une représentation irréductible de A dans un espace vectoriel E sur K.
a) Soit I un idéal bilatère de A. Si π(I) = {0}, alors π|I est irréductible ;
b) Soient I 1 et I 2 des idéaux bilatères de A tels que π(I 1 ) = 0 et
π(I 2 ) = 0. Alors π(I 1 I 2 ) = 0.
L’ensemble des éléments de E annulés par π(I) est stable pour π(A)
et distinct de E, donc égal à 0. Donc, si ξ est un élément non nul de E,
on a π(I)ξ = 0 ; comme π(I)ξ est stable pour π(A), on a π(I)ξ = E,
ce qui prouve a). D’autre part, ce qui précède prouve que π(I 2 )E = E,
π(I 1 )π(I 2 )E = E, donc π(I 1 I 2 ) = 0, d’où b).
Lemme 6. — Soient I 1 et I 2 des idéaux bilatères de A, I un idéal primitif de A. Si I contient I 1 I 2 (en particulier, si I contient I 1 ∩ I 2 ), alors
I contient I 1 ou I 2 .
Soit π une représentation irréductible de noyau I. Si I ⊃ I 1 et I ⊃ I 2 ,
le lemme 5, b) prouve que π(I 1 I 2 ) = 0, d’où I ⊃ I 1 I 2 .
Lemme 7. — Supposons que A admette un élément unité. Soit I un
idéal bilatère maximal de A. Alors I est un idéal primitif.
Il existe un idéal à gauche maximal R de A contenant I (A, I, p. 99,
th. 1). Soit π la représentation canonique de A dans A/R, qui est
irréductible et non nulle. Comme IA ⊂ R, le noyau I de π contient I,
donc I = I et I est primitif.
Soit J(A) l’ensemble des idéaux primitifs de A. Pour toute partie M
de A, nous noterons V(M) l’ensemble des idéaux primitifs de A contenant M ; si I est l’idéal bilatère de A engendré par M, on a V(M) = V(I).
Si M est réduit à un seul élément x, on écrira V(x) au lieu de V({x}).
SPECTRES ET CARACTÈRES
§ 1
non triviales de A sont, à une équivalence près, les représentations
π R définies par les A-pseudomodules A/R, où R est un idéal maximal
régulier de A. Le noyau de π R contient R. Il lui est même égal puisque,
d’après A, VIII, p. 426, prop. 2, la commutativité de A entraîne que
A/R est un corps. Donc Ker(π R ) est maximal régulier.
Lemme 5. — Soit π une représentation irréductible de A dans un espace vectoriel E sur K.
a) Soit I un idéal bilatère de A. Si π(I) = {0}, alors π|I est irréductible ;
b) Soient I 1 et I 2 des idéaux bilatères de A tels que π(I 1 ) = 0 et
π(I 2 ) = 0. Alors π(I 1 I 2 ) = 0.
L’ensemble des éléments de E annulés par π(I) est stable pour π(A)
et distinct de E, donc égal à 0. Donc, si ξ est un élément non nul de E,
on a π(I)ξ = 0 ; comme π(I)ξ est stable pour π(A), on a π(I)ξ = E,
ce qui prouve a). D’autre part, ce qui précède prouve que π(I 2 )E = E,
π(I 1 )π(I 2 )E = E, donc π(I 1 I 2 ) = 0, d’où b).
Lemme 6. — Soient I 1 et I 2 des idéaux bilatères de A, I un idéal primitif de A. Si I contient I 1 I 2 (en particulier, si I contient I 1 ∩ I 2 ), alors
I contient I 1 ou I 2 .
Soit π une représentation irréductible de noyau I. Si I ⊃ I 1 et I ⊃ I 2 ,
le lemme 5, b) prouve que π(I 1 I 2 ) = 0, d’où I ⊃ I 1 I 2 .
Lemme 7. — Supposons que A admette un élément unité. Soit I un
idéal bilatère maximal de A. Alors I est un idéal primitif.
Il existe un idéal à gauche maximal R de A contenant I (A, I, p. 99,
th. 1). Soit π la représentation canonique de A dans A/R, qui est
irréductible et non nulle. Comme IA ⊂ R, le noyau I de π contient I,
donc I = I et I est primitif.
Soit J(A) l’ensemble des idéaux primitifs de A. Pour toute partie M
de A, nous noterons V(M) l’ensemble des idéaux primitifs de A contenant M ; si I est l’idéal bilatère de A engendré par M, on a V(M) = V(I).
Si M est réduit à un seul élément x, on écrira V(x) au lieu de V({x}).