N
o 8
IDÉAUX PRIMITIFS
TS I.11
La bijection canonique de X (A) sur X(
A) est un homéomorphisme.
Soient B une algèbre unifère sur K et B l’algèbre sous-jacente ; alors
l’espace X(B) s’identifie au sous-espace X(B ) de X (B ).
8. Idéaux primitifs
Soient A une algèbre sur K et E un espace vectoriel sur K. On appelle
représentation de A dans E un morphisme de A dans l’algèbre L (E)
des endomorphismes de E. Une représentation injective est dite fidèle.
Soient π 1 et π 2 des représentations de A dans des espaces E 1 , E 2 . Un
morphisme de π 1 dans π 2 est une application K-linéaire u : E 1 → E 2
telle que u(π 1 (a)x) = π 2 (a)u(x) pour tous a ∈ A et x ∈ E 1 . Les
représentations sont dites équivalentes s’il existe un morphisme de π 1
dans π 2 qui est un isomorphisme d’espaces vectoriels. Son inverse est
alors un morphisme de π 2 dans π 1 . Une représentation π de A dans E
est dite irréductible si E = {0} et si les seuls sous-espaces vectoriels
de E stables pour π(A) sont {0} et E.
Exemple. — L’application nulle de A dans L (E) est une représentation, dite triviale, de A. Elle est irréductible si seulement si E est de
dimension 1.
Lemme 4. — Soit π une représentation irréductible, non triviale, de
A dans E. Pour tout élément ξ non nul de E, on a π(A)ξ = E.
Le sous-espace π(A)ξ de E est stable pour π(A). Supposons qu’il
soit nul. Le sous-espace non nul Kξ de E serait alors stable par π(A),
et donc égal à E ; mais cela impliquerait que π est la représentation
nulle. On a donc π(A)ξ = E.
Soit π une représentation irréductible, non triviale, de A dans E.
D’après ce lemme, l’annulateur R de ξ dans A est un idéal à gauche
régulier (A, VIII, p. 425, n o 1) de A, et la représentation π est équivalente à la représentation définie par le A-pseudomodule A/R. Comme π
est irréductible, l’idéal R est un idéal à gauche maximal régulier.
Définition 7. — Soit A une algèbre sur K. On appelle idéal primitif
de A le noyau d’une représentation irréductible non triviale de A.
Si A est commutative, les idéaux primitifs de A sont les idéaux
maximaux réguliers de A. En effet, les représentations irréductibles
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IDÉAUX PRIMITIFS
TS I.11
La bijection canonique de X (A) sur X(
A) est un homéomorphisme.
Soient B une algèbre unifère sur K et B l’algèbre sous-jacente ; alors
l’espace X(B) s’identifie au sous-espace X(B ) de X (B ).
8. Idéaux primitifs
Soient A une algèbre sur K et E un espace vectoriel sur K. On appelle
représentation de A dans E un morphisme de A dans l’algèbre L (E)
des endomorphismes de E. Une représentation injective est dite fidèle.
Soient π 1 et π 2 des représentations de A dans des espaces E 1 , E 2 . Un
morphisme de π 1 dans π 2 est une application K-linéaire u : E 1 → E 2
telle que u(π 1 (a)x) = π 2 (a)u(x) pour tous a ∈ A et x ∈ E 1 . Les
représentations sont dites équivalentes s’il existe un morphisme de π 1
dans π 2 qui est un isomorphisme d’espaces vectoriels. Son inverse est
alors un morphisme de π 2 dans π 1 . Une représentation π de A dans E
est dite irréductible si E = {0} et si les seuls sous-espaces vectoriels
de E stables pour π(A) sont {0} et E.
Exemple. — L’application nulle de A dans L (E) est une représentation, dite triviale, de A. Elle est irréductible si seulement si E est de
dimension 1.
Lemme 4. — Soit π une représentation irréductible, non triviale, de
A dans E. Pour tout élément ξ non nul de E, on a π(A)ξ = E.
Le sous-espace π(A)ξ de E est stable pour π(A). Supposons qu’il
soit nul. Le sous-espace non nul Kξ de E serait alors stable par π(A),
et donc égal à E ; mais cela impliquerait que π est la représentation
nulle. On a donc π(A)ξ = E.
Soit π une représentation irréductible, non triviale, de A dans E.
D’après ce lemme, l’annulateur R de ξ dans A est un idéal à gauche
régulier (A, VIII, p. 425, n o 1) de A, et la représentation π est équivalente à la représentation définie par le A-pseudomodule A/R. Comme π
est irréductible, l’idéal R est un idéal à gauche maximal régulier.
Définition 7. — Soit A une algèbre sur K. On appelle idéal primitif
de A le noyau d’une représentation irréductible non triviale de A.
Si A est commutative, les idéaux primitifs de A sont les idéaux
maximaux réguliers de A. En effet, les représentations irréductibles