TS I.10
SPECTRES ET CARACTÈRES
§ 1
ou simplement G (x), la restriction de G
A (x) à X(A) et on l’appelle
transformée de Gelfand de x.
Soit
A l’algèbre unifère déduite de A par adjonction d’un élément
unité. Par restriction, tout caractère de
A définit un caractère de A ;
inversement, tout caractère de A se prolonge de manière unique en
un caractère de
A. Cela définit une bijection canonique de X (A) sur
X(
A), par laquelle on identifie ces deux ensembles. Le caractère 0 de A
s’identifie à l’unique caractère de
A de noyau A.
Si x ∈ A et χ ∈ X (A), on a χ(x) ∈ Sp
A
(x), donc χ(x) ∈ Sp
A (x).
Lemme 3. — L’application χ → Ker(χ) est une bijection de X(A) sur
l’ensemble des idéaux réguliers de codimension 1 de A.
Rappelons (A, VIII, p. 426, déf. 1) qu’un idéal I de A est dit régulier
si l’algèbre quotient A/I admet un élément unité.
Démontrons le lemme. D’une part X(A) s’identifie à l’ensemble des
caractères de
A non nuls sur A. D’autre part, d’après A, VIII, p. 428,
prop. 4, l’application I → A ∩ I est une bijection de l’ensemble des
idéaux maximaux de
A distincts de A sur l’ensemble des idéaux maximaux réguliers de A. Le lemme découle alors des résultats du n o 6.
Supposons maintenant que K soit un corps topologique. On munit
alors X (A) de la topologie de la convergence simple sur A ; la notation X (A) désignera désormais l’espace topologique ainsi obtenu.
Lorsque K = R ou C, nous l’appelerons également topologie faible.
Pour tout x ∈ A, la fonction G
A (x) sur X (A) est continue.
Si h est un morphisme de A dans B, l’application X (h) : X (B) →
X (A) est continue. Si h est surjectif, X (h) est un homéomorphisme
de X (B) sur son image et cette image est fermée dans X (A).
Soit A = A 1 × · · · × A n ; avec les mêmes notations que plus haut,
X (π i ) est un homéomorphisme de X (A i ) sur X
i et X
i est fermé dans
X (A). Donc X
i
{0} est ouvert dans X (A) ; les X (π i ) définissent
une application continue de l’espace somme S des X (A i ) sur X (A),
et on vérifie immédiatement qu’une réunion de voisinages des points
0 ∈ X (A 1 ), . . . , 0 ∈ X (A n ) a pour image un voisinage de 0 ∈ X (A) ;
de tout ceci résulte que X (A) s’identifie canoniquement à un espace
quotient de S. En particulier, l’espace X(A) s’identifie à l’espace somme
des X(A i ).
SPECTRES ET CARACTÈRES
§ 1
ou simplement G (x), la restriction de G
A (x) à X(A) et on l’appelle
transformée de Gelfand de x.
Soit
A l’algèbre unifère déduite de A par adjonction d’un élément
unité. Par restriction, tout caractère de
A définit un caractère de A ;
inversement, tout caractère de A se prolonge de manière unique en
un caractère de
A. Cela définit une bijection canonique de X (A) sur
X(
A), par laquelle on identifie ces deux ensembles. Le caractère 0 de A
s’identifie à l’unique caractère de
A de noyau A.
Si x ∈ A et χ ∈ X (A), on a χ(x) ∈ Sp
A
(x), donc χ(x) ∈ Sp
A (x).
Lemme 3. — L’application χ → Ker(χ) est une bijection de X(A) sur
l’ensemble des idéaux réguliers de codimension 1 de A.
Rappelons (A, VIII, p. 426, déf. 1) qu’un idéal I de A est dit régulier
si l’algèbre quotient A/I admet un élément unité.
Démontrons le lemme. D’une part X(A) s’identifie à l’ensemble des
caractères de
A non nuls sur A. D’autre part, d’après A, VIII, p. 428,
prop. 4, l’application I → A ∩ I est une bijection de l’ensemble des
idéaux maximaux de
A distincts de A sur l’ensemble des idéaux maximaux réguliers de A. Le lemme découle alors des résultats du n o 6.
Supposons maintenant que K soit un corps topologique. On munit
alors X (A) de la topologie de la convergence simple sur A ; la notation X (A) désignera désormais l’espace topologique ainsi obtenu.
Lorsque K = R ou C, nous l’appelerons également topologie faible.
Pour tout x ∈ A, la fonction G
A (x) sur X (A) est continue.
Si h est un morphisme de A dans B, l’application X (h) : X (B) →
X (A) est continue. Si h est surjectif, X (h) est un homéomorphisme
de X (B) sur son image et cette image est fermée dans X (A).
Soit A = A 1 × · · · × A n ; avec les mêmes notations que plus haut,
X (π i ) est un homéomorphisme de X (A i ) sur X
i et X
i est fermé dans
X (A). Donc X
i
{0} est ouvert dans X (A) ; les X (π i ) définissent
une application continue de l’espace somme S des X (A i ) sur X (A),
et on vérifie immédiatement qu’une réunion de voisinages des points
0 ∈ X (A 1 ), . . . , 0 ∈ X (A n ) a pour image un voisinage de 0 ∈ X (A) ;
de tout ceci résulte que X (A) s’identifie canoniquement à un espace
quotient de S. En particulier, l’espace X(A) s’identifie à l’espace somme
des X(A i ).