N
o 7
CAS DES ALGÈBRES SANS ÉLÉMENT UNITÉ
TS I.9
de X(A) ; autrement dit, X(h) est un homéomorphisme de X(B) sur
une partie fermée de X(A).
Si A 1 , . . . , A n sont des algèbres unifères commutatives sur K, l’espace X(A 1 × · · · × A n ) s’identifie ainsi à l’espace topologique somme
de X(A 1 ), . . . , X(A n ). De même, X(A 1 ⊗ · · · ⊗ A n ) s’identifie à l’espace
topologique produit X(A 1 ) × · · · × X(A n ).
7. Cas des algèbres sans élément unité
Définition 6. — Soit A une algèbre commutative sur K. On appelle
caractère de A un morphisme d’algèbres de A dans K.
L’ensemble des caractères de A sera noté X (A).
L’application nulle est un morphisme d’algèbres. Si A possède un
élément unité e, un morphisme d’algèbres non nul de A dans K est
unifère, c’est-à-dire est un caractère unifère de K au sens de la définition 4 : en effet, pour que χ ∈ X (A) soit non nul, il faut et il suffit que
χ(e) = 1.
On posera X(A) = X (A) {0} ; d’après ce qui précède, la notation
est compatible avec celle introduite lorsque A est unifère.
Si h : A → B est un morphisme d’algèbres commutatives, l’application χ → χ ◦ h est une application X (h) : X (B) → X (A). Elle transforme 0 en 0. Si k : B → C est un morphisme d’algèbres commutatives,
alors on a X (k ◦ h) = X (h) ◦ X (k). Si h est surjectif, X (h) est une
bijection de X (B) sur l’ensemble des caractères de A nuls sur le noyau
de h. Soient A 1 , . . . , A n des algèbres commutatives, A = A 1 × · · · × A n
et π : A → A i le morphisme canonique ; alors X (π i ) est une bijection de
X (A i ) sur une partie X
i de X (A), à savoir l’ensemble des caractères
de A nuls sur
j =i
A j ; on voit comme au n o 6 que X (A) est réunion
des X
i ; d’autre part, X
i ∩ X
j = {0} pour i = j ; en particulier les
X
i
{0} forment une partition de X (A) {0} = X(A).
Pour tout x ∈ A, soit G
A (x), ou simplement G (x), l’application
χ → χ(x) de X (A) dans K. L’application G est un morphisme de A
dans l’algèbre A 1 des applications X (A) → K nulles en 0. Soient B
une algèbre commutative, B 1 l’algèbre des applications X (B) → K
nulles en 0, et h un morphisme de A dans B ; alors X (h) définit un
morphisme h 1 : A 1 → B 1 , et l’on a h 1 ◦ G
A = G
B ◦ h. On note G A (x),
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CAS DES ALGÈBRES SANS ÉLÉMENT UNITÉ
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de X(A) ; autrement dit, X(h) est un homéomorphisme de X(B) sur
une partie fermée de X(A).
Si A 1 , . . . , A n sont des algèbres unifères commutatives sur K, l’espace X(A 1 × · · · × A n ) s’identifie ainsi à l’espace topologique somme
de X(A 1 ), . . . , X(A n ). De même, X(A 1 ⊗ · · · ⊗ A n ) s’identifie à l’espace
topologique produit X(A 1 ) × · · · × X(A n ).
7. Cas des algèbres sans élément unité
Définition 6. — Soit A une algèbre commutative sur K. On appelle
caractère de A un morphisme d’algèbres de A dans K.
L’ensemble des caractères de A sera noté X (A).
L’application nulle est un morphisme d’algèbres. Si A possède un
élément unité e, un morphisme d’algèbres non nul de A dans K est
unifère, c’est-à-dire est un caractère unifère de K au sens de la définition 4 : en effet, pour que χ ∈ X (A) soit non nul, il faut et il suffit que
χ(e) = 1.
On posera X(A) = X (A) {0} ; d’après ce qui précède, la notation
est compatible avec celle introduite lorsque A est unifère.
Si h : A → B est un morphisme d’algèbres commutatives, l’application χ → χ ◦ h est une application X (h) : X (B) → X (A). Elle transforme 0 en 0. Si k : B → C est un morphisme d’algèbres commutatives,
alors on a X (k ◦ h) = X (h) ◦ X (k). Si h est surjectif, X (h) est une
bijection de X (B) sur l’ensemble des caractères de A nuls sur le noyau
de h. Soient A 1 , . . . , A n des algèbres commutatives, A = A 1 × · · · × A n
et π : A → A i le morphisme canonique ; alors X (π i ) est une bijection de
X (A i ) sur une partie X
i de X (A), à savoir l’ensemble des caractères
de A nuls sur
j =i
A j ; on voit comme au n o 6 que X (A) est réunion
des X
i ; d’autre part, X
i ∩ X
j = {0} pour i = j ; en particulier les
X
i
{0} forment une partition de X (A) {0} = X(A).
Pour tout x ∈ A, soit G
A (x), ou simplement G (x), l’application
χ → χ(x) de X (A) dans K. L’application G est un morphisme de A
dans l’algèbre A 1 des applications X (A) → K nulles en 0. Soient B
une algèbre commutative, B 1 l’algèbre des applications X (B) → K
nulles en 0, et h un morphisme de A dans B ; alors X (h) définit un
morphisme h 1 : A 1 → B 1 , et l’on a h 1 ◦ G
A = G
B ◦ h. On note G A (x),