TS I.8
SPECTRES ET CARACTÈRES
§ 1
L’application G est un morphisme unifère de A dans l’algèbre unifère K X(A) des applications de X(A) dans K. On l’appelle la transformation de Gelfand de A.
Si x ∈ A, l’image de la transformée de Gelfand G A (x) de x est
contenue dans Sp A (x). En effet, soit χ ∈ X(A) ; puisque χ(x−χ(x)e) =
0, l’élément x − χ(x)e n’est pas inversible.
Soient B une algèbre unifère commutative sur K et h un morphisme
unifère de A dans B ; alors X(h) : X(B) → X(A) définit un morphisme
unifère h ∗ : K X(A) → K X(B) , et le diagramme :
(3)
A
K X(A)
B
K X(B)
←
→
G A
←
→
h
←
→
h∗
←
→
G B
est commutatif. En effet, pour tout x ∈ A et tout χ ∈ X(B), on a :
G B (h(x))(χ) = χ(h(x)) = (χ ◦ h)(x)
= (X(h)(χ))(x)
= G A (x)(X(h)(χ))
(4)
= h ∗ (G A (x))(χ).
Supposons maintenant que K soit un corps topologique. On munit
alors X(A) de la topologie de la convergence simple sur A (cf. EVT, III,
p. 14, exemple 1), et l’espace topologique X(A) s’appelle l’espace des
caractères de A. La topologie de X(A) est donc la moins fine pour laquelle les fonctions G A (x) pour x ∈ A soient continues, et l’application
χ → (χ(a)) a∈A identifie l’espace X(A) avec une partie de K A .
Lorsque K = R ou C, cette topologie est la topologie induite
sur X(A) ⊂ A ∗ par la topologie faible σ(A ∗ , A) sur A ∗ (EVT, II,
p. 45, déf. 2) ; à ce titre, nous dirons aussi que c’est la topologie faible
sur X(A).
Si h est un morphisme unifère de A dans B, l’application
X(h) : X(B) → X(A) est continue. Si h est surjectif, l’image de
X(h), à savoir l’ensemble des caractères de A nuls sur le noyau de h,
est fermée dans X(A) ; d’autre part, la topologie sur X(h)(X(B))
déduite de celle de X(B) par la bijection X(h) est la topologie de la
convergence simple dans A, c’est-à-dire la topologie induite par celle
SPECTRES ET CARACTÈRES
§ 1
L’application G est un morphisme unifère de A dans l’algèbre unifère K X(A) des applications de X(A) dans K. On l’appelle la transformation de Gelfand de A.
Si x ∈ A, l’image de la transformée de Gelfand G A (x) de x est
contenue dans Sp A (x). En effet, soit χ ∈ X(A) ; puisque χ(x−χ(x)e) =
0, l’élément x − χ(x)e n’est pas inversible.
Soient B une algèbre unifère commutative sur K et h un morphisme
unifère de A dans B ; alors X(h) : X(B) → X(A) définit un morphisme
unifère h ∗ : K X(A) → K X(B) , et le diagramme :
(3)
A
K X(A)
B
K X(B)
←
→
G A
←
→
h
←
→
h∗
←
→
G B
est commutatif. En effet, pour tout x ∈ A et tout χ ∈ X(B), on a :
G B (h(x))(χ) = χ(h(x)) = (χ ◦ h)(x)
= (X(h)(χ))(x)
= G A (x)(X(h)(χ))
(4)
= h ∗ (G A (x))(χ).
Supposons maintenant que K soit un corps topologique. On munit
alors X(A) de la topologie de la convergence simple sur A (cf. EVT, III,
p. 14, exemple 1), et l’espace topologique X(A) s’appelle l’espace des
caractères de A. La topologie de X(A) est donc la moins fine pour laquelle les fonctions G A (x) pour x ∈ A soient continues, et l’application
χ → (χ(a)) a∈A identifie l’espace X(A) avec une partie de K A .
Lorsque K = R ou C, cette topologie est la topologie induite
sur X(A) ⊂ A ∗ par la topologie faible σ(A ∗ , A) sur A ∗ (EVT, II,
p. 45, déf. 2) ; à ce titre, nous dirons aussi que c’est la topologie faible
sur X(A).
Si h est un morphisme unifère de A dans B, l’application
X(h) : X(B) → X(A) est continue. Si h est surjectif, l’image de
X(h), à savoir l’ensemble des caractères de A nuls sur le noyau de h,
est fermée dans X(A) ; d’autre part, la topologie sur X(h)(X(B))
déduite de celle de X(B) par la bijection X(h) est la topologie de la
convergence simple dans A, c’est-à-dire la topologie induite par celle