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o 6 CARACTÈRES D’UNE ALGÈBRE UNIFÈRE COMMUTATIVE TS I.7
Soient A et B des algèbres unifères commutatives sur K et h un
morphisme unifère de A dans B. L’application χ → χ ◦ h de X(B)
dans X(A) se note X(h). Si k est un morphisme de B dans une algèbre
unifère commutative, on a X(k ◦h) = X(h)◦X(k). L’application X(Id A )
est l’application identique de X(A).
Si h est surjectif, X(h) est une bijection de X(B) sur l’ensemble des
caractères de A qui s’annulent sur le noyau de h.
Soient (A 1 , e 1 ), . . . , (A n , e n ) des algèbres unifères commutatives
sur K et soit A l’algèbre unifère A 1 × · · · × A n , d’élément unité
(e 1 , . . . , e n ). Pour tout i, identifions A i à un idéal de A et soit π i
l’application canonique de A sur A i . Alors X(π i ) est une bijection
de X(A i ) sur l’ensemble X i des caractères de A nuls sur
j =i A j . Les
ensembles X i sont deux à deux disjoints. D’autre part, soit χ ∈ X(A).
Puisque 1 =
χ(e i ), il existe i tel que χ(e i ) = 0. Pour tout j = i et
tout y ∈ A j , on a χ(e i )χ(y) = χ(e i y) = χ(0) = 0, donc χ(A j ) = 0.
Ainsi, χ s’annule sur
j =i A j , de sorte que X(A) est réunion des X i .
Soit B l’algèbre unifère A 1 ⊗ · · · ⊗ A n . Notons h i le morphisme
canonique A i → B. Alors
χ → (χ ◦ h 1 , . . . , χ ◦ h n )
est une application de X(B) dans X(A 1 ) × · · · × X(A n ), et
(χ 1 , . . . , χ n ) → χ 1 ⊗ · · · ⊗ χ n
est une application de X(A 1 ) × · · · × X(A n ) dans X(B). On vérifie que
ces applications sont des bijections réciproques l’une de l’autre, par
lesquelles on identifiera X(B) à X(A 1 ) × · · · × X(A n ).
Soit A une algèbre unifère commutative sur K. Soit Y l’ensemble des
idéaux de codimension 1 de A. Pour tout χ ∈ X(A), on a Ker(χ) ∈ Y.
L’application χ → Ker(χ) est une bijection de X(A) sur Y. En effet,
si I ∈ Y, il existe un unique isomorphisme de la K-algèbre unifère A/I
sur K et le morphisme composé
A −→ A/I −→ K
est l’unique caractère de A de noyau I.
Définition 5. — Soit A une algèbre unifère commutative sur K. Pour
tout x ∈ A, on note G A (x), ou simplement G (x), l’application χ →
χ(x) de X(A) dans K. On l’appelle la transformée de Gelfand de x.
o 6 CARACTÈRES D’UNE ALGÈBRE UNIFÈRE COMMUTATIVE TS I.7
Soient A et B des algèbres unifères commutatives sur K et h un
morphisme unifère de A dans B. L’application χ → χ ◦ h de X(B)
dans X(A) se note X(h). Si k est un morphisme de B dans une algèbre
unifère commutative, on a X(k ◦h) = X(h)◦X(k). L’application X(Id A )
est l’application identique de X(A).
Si h est surjectif, X(h) est une bijection de X(B) sur l’ensemble des
caractères de A qui s’annulent sur le noyau de h.
Soient (A 1 , e 1 ), . . . , (A n , e n ) des algèbres unifères commutatives
sur K et soit A l’algèbre unifère A 1 × · · · × A n , d’élément unité
(e 1 , . . . , e n ). Pour tout i, identifions A i à un idéal de A et soit π i
l’application canonique de A sur A i . Alors X(π i ) est une bijection
de X(A i ) sur l’ensemble X i des caractères de A nuls sur
j =i A j . Les
ensembles X i sont deux à deux disjoints. D’autre part, soit χ ∈ X(A).
Puisque 1 =
χ(e i ), il existe i tel que χ(e i ) = 0. Pour tout j = i et
tout y ∈ A j , on a χ(e i )χ(y) = χ(e i y) = χ(0) = 0, donc χ(A j ) = 0.
Ainsi, χ s’annule sur
j =i A j , de sorte que X(A) est réunion des X i .
Soit B l’algèbre unifère A 1 ⊗ · · · ⊗ A n . Notons h i le morphisme
canonique A i → B. Alors
χ → (χ ◦ h 1 , . . . , χ ◦ h n )
est une application de X(B) dans X(A 1 ) × · · · × X(A n ), et
(χ 1 , . . . , χ n ) → χ 1 ⊗ · · · ⊗ χ n
est une application de X(A 1 ) × · · · × X(A n ) dans X(B). On vérifie que
ces applications sont des bijections réciproques l’une de l’autre, par
lesquelles on identifiera X(B) à X(A 1 ) × · · · × X(A n ).
Soit A une algèbre unifère commutative sur K. Soit Y l’ensemble des
idéaux de codimension 1 de A. Pour tout χ ∈ X(A), on a Ker(χ) ∈ Y.
L’application χ → Ker(χ) est une bijection de X(A) sur Y. En effet,
si I ∈ Y, il existe un unique isomorphisme de la K-algèbre unifère A/I
sur K et le morphisme composé
A −→ A/I −→ K
est l’unique caractère de A de noyau I.
Définition 5. — Soit A une algèbre unifère commutative sur K. Pour
tout x ∈ A, on note G A (x), ou simplement G (x), l’application χ →
χ(x) de X(A) dans K. On l’appelle la transformée de Gelfand de x.